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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 3.13 - Ex. 17

Calcule o limite.

underset(x -> - oo)(lim) (sqrt(x^2 + 1))/(x + 1)

Passo 1

Como temos um limite onde nossa função possui termos polinomiais e x -> - oo , a estratégia será colocar o termo de maior grau em evidencia. Vamos lá!

L = underset(x -> - oo)(lim) (sqrt(x^2 + 1))/(x + 1)

No numerador, podemos colocar em evidencia o x^2 dentro da raiz, e no denominador o x . Assim,

L = underset(x -> - oo)(lim) (sqrt(x^2 (1 + (1)/(x^2))))/(x (1 + (1)/(x)))

Como x -> - oo , estamos com valores negativos de x . Então podemos tirar o x^2 da raiz trocando o sinal.

L = underset(x -> - oo)(lim) (- x sqrt(1 + (1)/(x^2)))/(x (1 + (1)/(x)))

Simplificando:

L = underset(x -> - oo)(lim) - (sqrt(1 + (1)/(x^2)))/(1 + (1)/(x))

Passo 2

Pra facilitar nossa vida, podemos escrever da seguinte forma:

L = (underset(x -> - oo)(l i m) - sqrt(1 + (1)/(x^2)))/(underset(x -> - oo)(l i m) (1 + (1)/(x)))

Repare que no denominador basta calcular o limite do que está dentro da raiz. Assim,

L = (- sqrt(underset(x -> - oo)(l i m) (1 + (1)/(x^2))))/(underset(x -> - oo)(l i m) (1 + (1)/(x)))

Quando x -> - oo :

L = - (sqrt(1 + (1)/((- oo)^2)))/(1 + (1)/((- oo)))

Isto é,

L = - (sqrt(1 + 0))/(1 + 0)

Portanto,

L = - 1

Resposta

L = - 1

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