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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 3.13 - Ex. 14

Calcule o limite.

underset(x -> + oo)(lim) (x (2 x - 7 cos (x)))/(3 x^2 - 5 s e n (x) + 1)

Passo 1

Como temos um limite onde nossa função possui termos polinomiais e x -> + oo , a estratégia inicial pode ser será colocar o termo de maior grau em evidencia. Vamos lá!

L = underset(x -> + oo)(lim) (x (2 x - 7 cos (x)))/(3 x^2 - 5 s e n (x) + 1)

Passo 2

Colocando x em evidencia no numerador e x^2 em evidencia no denominador:

L = underset(x -> + oo)(lim) (x xx x (2 - (7 cos (x))/(x)))/(x^2 (3 - (5 s e n (x))/(x^2) + (1)/(x^2)))

Simplificando o x^2 do denominador com o do numerador:

L = underset(x -> + oo)(lim) ((2 - (7 cos (x))/(x)))/((3 - (5 s e n (x))/(x^2) + (1)/(x^2)))

Assim,

L = (underset(x -> + oo)(l i m) (2 - (7 cos (x))/(x)))/(underset(x -> + oo)(l i m) (3 - (5 s e n (x))/(x^2) + (1)/(x^2)))

Passo 3

Agora vamos analisar cada limite separadamente, beleza?!

L_1 = underset(x -> + oo)(l i m) (2 - (7 cos (x))/(x))

Logo,

L_1 = 2 - 7 underset(x -> + oo)(l i m) (cos (x))/(x)

Como a função cos (x) só pode variar entre - 1 e 1 e estamos dividindo por um número muito grande ( x -> oo ) , então underset(x -> + oo)(l i m) (cos (x))/(x) será 0 .

L_1 = 2

Passo 4

Pra finalizar, basta analisarmos o outro limite, e esse vai seguir a mesma ideia do anterior. Vamos lá!

L_2 = underset(x -> + oo)(l i m) (3 - (5 s e n (x))/(x^2) + (1)/(x^2))

Assim,

L_2 = 3 - underset(x -> + oo)(l i m) (5 s e n (x))/(x^2) + underset(x -> + oo)(l i m) (1)/(x^2)

O underset(x -> + oo)(l i m) (5 s e n (x))/(x^2) vai seguir e mesma ideia do Passo 2, pois o s e n (x) só pode variar entre - 1 e 1 e estamos dividindo por um número muito grande, logo,

underset(x -> + oo)(l i m) (5 s e n (x))/(x^2) = 0

Dessa forma,

L_2 = 3 - 0 + (1)/(oo) -> L_2 = 3

Voltando para o nosso limite inicial:

L = (underset(x -> + oo)(l i m) (2 - (7 cos (x))/(x)))/(underset(x -> + oo)(l i m) (3 - (5 s e n (x))/(x^2) + (1)/(x^2)))

Usando o que já achamos no Passo 2 e 3:

L = (2)/(3)

Resposta

L = (2)/(3)

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