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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 3.13 - Ex. 30

Calcule o limite.

underset(y -> - oo)(lim) (3 - y)/(sqrt(5 + 4 y^2))

Passo 1

Galera, como a gente já sabe, nesses limites com a variável tendendo a infinito, a gente pode usar o fato de que a maior potência de y é a única que importa, e assim podemos desprezar os outros termos que acompanham, assim:

underset(y -> - oo)(lim) (3 - y)/(sqrt(5 + 4 y^2)) = underset(y -> - oo)(lim) (- y)/(sqrt(4 y^2))

Pegou? A gente diz que 3 e 5 são indiferentes perto do infinito!

Passo 2

Agora vamos tirar aquele y^2 da raiz. Ele tem que sair com módulo, já que essa raiz é de índice par.

underset(y -> - oo)(lim) (- y)/(sqrt(4 y^2)) = underset(y -> - oo)(lim) (- y)/(2 |y|)

Módulo funciona assim, ó:

|x| = {[[x , x > 0],[- x , x < 0]])

Então, como o y tá tendendo pra um valor negativo, ele vai sair com o menos na frente.

underset(y -> - oo)(lim) (- y)/(2 |y|) = underset(y -> - oo)(lim) (- y)/(2 (- y))

Cortando o y em cima e embaixo:

underset(y -> - oo)(lim) (- y)/(- 2 y) = underset(y -> - oo)(lim) (1)/(2)

Mas o limite de uma constante é ela mesma, então:

underset(y -> - oo)(lim) (3 - y)/(sqrt(5 + 4 y^2)) = (1)/(2)

Resposta

underset(y -> - oo)(lim) (3 - y)/(sqrt(5 + 4 y^2)) = (1)/(2)

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Calcule o limite.underset(y - + oo)(lim) (3 - y)/(sqrt(5 + 4 y^2))