Enunciado
Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.4 - Ex. 3b
Mostre que não existe nos seguintes casos:
Passo 1
E aí, pessoal!! Quem vem pra mais um exercício com o Responde Aí? Vamo lá :D
Lembrando de como é resolvido o limite de uma função só, se ela tiver três variáveis o procedimento é o mesmo. Então, nada de se assustar hehe.
Tendo tendendo ao ponto dado, vamos verificar se a função se torna indefinida nesse mesmo ponto. Caso isso aconteça, precisamos manipular a função de tal modo que o limite passe a existir. Mas de início, podemos apenas substituir as coordenadas do ponto na nossa função e verificar o seu resultado.
Passo 2
Então, se substituirmos o ponto no nosso limite, teremos:
Como a substituição direta deu um resultado indeterminado, vamos resolver o limite de outra forma. Vamos aplicar uma substituição de acordo com os valores para os quais cada variável tende.
Já que temos todas as variáveis resultando em zero, vamos aplicar a seguinte substituição:
E depois:
Pois ambas relações atendem aos valores que tendem.
Para que o limite não existe, precisamos que os resultados dos limites de cada substituição sejam diferentes. Vamos verificar isso.
Passo 3
Logo, aplicando a substituição :
Então:
Agora, fazendo :
Então:
Portanto, como os dois limites resultaram em valores diferentes, o limite inicial não existe.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)