Responde Aí
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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.4 - Ex. 3b

Mostre que underset((x , y , z) -> (0 , 0 , 0))(lim) f (x , y , z) não existe nos seguintes casos:

(a) f (x , y , z) = (x^2 y^2 z^2)/(x^6 + y^6 + z^6)

Passo 1

E aí, pessoal!! Quem vem pra mais um exercício com o Responde Aí? Vamo lá :D

Lembrando de como é resolvido o limite de uma função só, se ela tiver três variáveis o procedimento é o mesmo. Então, nada de se assustar hehe.

Tendo (x , y , z) tendendo ao ponto dado, vamos verificar se a função se torna indefinida nesse mesmo ponto. Caso isso aconteça, precisamos manipular a função f (x , y , z) de tal modo que o limite passe a existir. Mas de início, podemos apenas substituir as coordenadas do ponto na nossa função e verificar o seu resultado.

Passo 2

Então, se substituirmos o ponto (0 , 0 , 0) no nosso limite, teremos:

underset((x , y , z) -> (0 , 0 , 0))(lim) (x^2 y^2 z^2)/(x^6 + y^6 + z^6) = (0)/(0)

Como a substituição direta deu um resultado indeterminado, vamos resolver o limite de outra forma. Vamos aplicar uma substituição de acordo com os valores para os quais cada variável tende.

Já que temos todas as variáveis resultando em zero, vamos aplicar a seguinte substituição:

x = y = z

E depois:

2 x = y = z

Pois ambas relações atendem aos valores que x , y , z tendem.

Para que o limite não existe, precisamos que os resultados dos limites de cada substituição sejam diferentes. Vamos verificar isso.

Passo 3

Logo, aplicando a substituição x = y = z :

underset((x , y , z) -> (0 , 0 , 0))(lim) (x^2 y^2 z^2)/(x^6 + y^6 + z^6) = underset(x -> 0)(lim) (x^2 x^2 x^2)/(x^6 + x^6 + x^6)

Então:

underset((x , y , z) -> (0 , 0 , 0))(lim) (x^2 y^2 z^2)/(x^6 + y^6 + z^6) = underset(x -> 0)(lim) (x^6)/(3 x^6) = (1)/(3)

Agora, fazendo 2 x = y = z :

underset((x , y , z) -> (0 , 0 , 0))(lim) (x^2 y^2 z^2)/(x^6 + y^6 + z^6) = underset(x -> 0)(lim) (x^2 (4 x^2) (4 x^2))/(x^6 + 6 4 x^6 + 6 4 x^6)

Então:

underset((x , y , z) -> (0 , 0 , 0))(lim) (x^2 y^2 z^2)/(x^6 + y^6 + z^6) = underset(x -> 0)(lim) (16 x^6)/(12 9 x^6) = (16)/(129)

Portanto, como os dois limites resultaram em valores diferentes, o limite inicial não existe.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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