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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.10 - Ex. 9

9-Considerando as superfícies: S 1 de equação x 2 + y ~ 2 + z - 2 2 = 4 ,     2 ≤ z ≤ 4 , S 2 de equação z = 3 - x 2 2 - y 2 4 ,     4 ≤ x 2 + y 2 ≤ 12 e S 3 de equação z = - 6 + 3 x 2 + y 2 ,     x 2 + y 2 ≤ 12 . Sendo S a união de S 1 ,   S 2 ,   S 3 calcule a derivada direcional da função f x ,   y ,   z = x y + x z + y z no ponto P 0 = ( 2 ,   2,1 ) na direção de um vetor normal a S em P o .

Passo 1

Galera, no nosso P 0 temos z = 1 . Mas nós só temos uma superfície que admite esse z . Ôoo xente, como assim ?! Olha só:

Em S 1 , z só pode variar nesse intervalo [ 2 ,   4 ] , cara o 1 não está nesse intervalo, né ?!

Em S 3 , nós temos que z = - 6 + 3 x 2 + y 2 , a única maneira de termos z = 1 seria se:

3 x 2 + y 2 = 7

Assim,

3 x 2 + y 2 = 49

x 2 + y 2 = 49 3

No entanto, a nossa função está restrita a: x 2 + y 2 ≤ 12 . Então, esse superfície também não nos interessa.

Por fim, só nos sobro S 2 . Se substituirmos x 2 + y 2 = 4 , teremos:

z = 3 - x 2 4 + y 2 4

z = 3 - 2 = 1

Sim, há uma luz no fim do túnel,hahhaha. Ficou claro que só essa superfície serve pra gente.

Passo 2

Vocês concordam que o vetor normal a S em P o é o vetor gradiente, né ?!

∇ S 2 2,2 , 1

Como S 2 pode ser reescrita, temos:

3 = z + x 2 4 + y 2 4

Assim,

∇ S 2 2,2 , 1 = x 2 , y 2 ,   1 = ( 1,1 , 1 )

Passo 3

Agora, vamos calcular ∇ f P 0 :

∇ f 2,2 , 1 = y + z ,   x + z ,   x + y = ( 3 ,   3 ,   4 )

Pra finalizar vamos usar a nossa fórmula de derivada direcional:

∇ f P 0 × u u

Lembrem-se que o nosso u é ( 1,1 , 1 ) . Dividindo pela sua norma, temos:

u = 3

u u = 1 3 , 1 3 , 1 3

Assim,

3 ,   3 ,   4 × 1 3 , 1 3 , 1 3 = 10 3 3

Fim! Até a próxima!

Resposta

10 3 3

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