9-Considerando as superfícies: S₁ de equação x^2 + y ~ 2 + (z - 2)^2 = 4, 2 ≤ z ≤ 4 , S₂ de equação z = 3 - (x^2 / 2) - (y^2 / 4), 4 ≤ x^2 + y^2 ≤ 12 e S₃ de equação z = -6 + raiz(3 * (x^2 + y^2)), x^2 + y^2 ≤ 12 . Sendo S a união de S1, S2, S3 calcule a derivada direcional da função f(x, y, z) = xy + xz + yz no ponto P₀ = (2, 2,1) na direção de um vetor normal a S em P_o.

Passo 1

Galera, no nosso P 0 temos z = 1 . Mas nós só temos uma superfície que admite esse z . Ôoo xente, como assim ?! Olha só:

Em S 1 , z só pode variar nesse intervalo [ 2 ,   4 ] , cara o 1 não está nesse intervalo, né ?!

Em S 3 , nós temos que z = - 6 + 3 x 2 + y 2 , a única maneira de termos z = 1 seria se:

3 x 2 + y 2 = 7

Assim,

3 x 2 + y 2 = 49

x 2 + y 2 = 49 3

No entanto, a nossa função está restrita a: x 2 + y 2 ≤ 12 . Então, esse superfície também não nos interessa.

Por fim, só nos sobro S 2 . Se substituirmos x 2 + y 2 = 4 , teremos:

z = 3 - x 2 4 + y 2 4

z = 3 - 2 = 1

Sim, há uma luz no fim do túnel,hahhaha. Ficou claro que só essa superfície serve pra gente.

Passo 2

Vocês concordam que o vetor normal a S em P o é o vetor gradiente, né ?!

∇ S 2 2,2 , 1

Como S 2 pode ser reescrita, temos:

3 = z + x 2 4 + y 2 4

Assim,

∇ S 2 2,2 , 1 = x 2 , y 2 ,   1 = ( 1,1 , 1 )

Passo 3

Agora, vamos calcular ∇ f P 0 :

∇ f 2,2 , 1 = y + z ,   x + z ,   x + y = ( 3 ,   3 ,   4 )

Pra finalizar vamos usar a nossa fórmula de derivada direcional:

∇ f P 0 × u u

Lembrem-se que o nosso u é ( 1,1 , 1 ) . Dividindo pela sua norma, temos:

u = 3

u u = 1 3 , 1 3 , 1 3

Assim,

3 ,   3 ,   4 × 1 3 , 1 3 , 1 3 = 10 3 3

Fim! Até a próxima!

Resposta

10 3 3

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