Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 13.4 - Ex. 23
Um projétil é disparado com uma velocidade escalar inicial de e ângulo de elevação de . Determine:
o alcance do projétil,
a altura máxima atingida e
a velocidade escalar no impacto.
Passo 1
Olá, tudo bem? Vamos resolver juntos essa atividade.
Temos uma situação em que um projetil é disparado com a velocidade de e com um ângulo em relação a horizontal de . Iremos a partir dessa situação, determinar algumas informações.
Lembram lá da física que movimento de projéteis é a combinação de dois movimentos:
- Na horizontal temos um movimento retilíneo uniforme, sem aceleração.
- Na vertical temos um movimento retilíneo uniformemente variado, com aceleração da gravidade no sentido negativo do eixo .
As equações de movimento são essas aqui ó:
Na horizontal:
Na vertical:
Já que temos velocidade inicial e um ângulo de elevação, vamos ter componentes vertical e horizontal da velocidade. Lembrando que na horizontal a velocidade inicial é a mesma durante todo tempo de voo do projétil. O alcance do projétil vai ser dado quando o projétil retorna ao solo, isso é . Já altura máxima é encontrada quando . Já a velocidade escalar no impacto vai ser dado pelo módulo do vetor velocidade no instante do impacto.
Passo 2
Fazendo a decomposição de vetores teremos:
O alcance do projétil vai ser dado quando o projétil retorna ao solo. Para isso, vamos determinar primeiro quanto tempo ele leva voando, ou seja, para quais valores de que o projétil passa pelas posições e . Admitindo que a gravidade é :
Então temos que o projétil toca no solo quando o que faz sentido, pois ele sai do chão. E a segunda solução é:
Bom, agora é só substituir na equação para a posição na horizontal:
Assim o alcance é
Passo 3
A altura máxima atingida é quando a componente vertical da velocidade é zero. Lembrando que velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, é só derivar a equação da posição na vertical:
E para saber quando o projétil atinge a altura máxima devemos fazer :
E a altura máxima pode ser encontrada pela função horária da posição vertical:
A altura máxima então é
Passo 4
Lembram que falei que a velocidade é a derivada temporal da posição? Pois é, vamos montar o vetor posição na forma vetorial:
O vetor velocidade vai ser a derivada desse vetor aqui em cima em relação ao tempo:
Sabemos que o tempo de voo (lá do passo ) é de , então agora podemos calcular o vetor velocidade nesse instante:
E o módulo vai ser:
O módulo é o mesmo que no instante inicial! Não há dissipação de energia, então a velocidade inicial vai ser igual a velocidade final. Notem que a única diferença é a direção do vetor da componente vertical. No início, o projétil estava subindo, agora no fim ele está descendo, portando com sentido negativo.
Beleza?
Vamos pra próxima?