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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.Exercícios práticos - Ex. 17

Nos Exercícios 17-20, encontre T, N, B, κ e τ no valor determinado de t.

r t = 4 9 1 + t 3 / 2 i + 4 9 1 - t 3 / 2 j + 1 3 t k ;   t = 0

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de funções vetoriais e movimentos no espaço.

Vamos agora resolver os exercícios práticos sobre movimento no espaço.

A partir do enunciado, derivamos r:

d r d t = v = 2 3 1 + t 1 / 2 i - 2 3 1 - t 1 / 2 j + 1 3 k

Daí, temos que:

v = 2 3 1 + t 1 / 2 2 + - 2 3 1 - t 1 / 2 2 + 1 3 2 = 4 9 1 + t + 4 9 1 - t + 1 9 = 1

Daí, temos que:

T = 2 3 1 + t 1 / 2 i - 2 3 1 - t 1 / 2 j + 1 3 k

E:

T ( 0 ) = 2 3 i - 2 3 j + 1 3 k

Agora, derivando T:

d T d t = 1 3 1 + t - 1 / 2 i + 1 3 1 - t - 1 / 2 j

Nos dando:

d T 0 d t = 1 3 i + 1 3 j = > d T 0 d t = 1 3 2 + 1 3 2 = 2 9 = 2 3

Passo 2

Daí, teremos que:

N 0 = 1 2 i + 1 2 j   e   B 0 = T 0 × N 0

= > B 0 = i j k 2 3 - 2 3 1 3 1 2 1 2 0 = - 1 3 2 i + 1 3 2 j + 4 3 2 k

Derivando v temos:

a = 1 3 1 + t - 1 / 2 i + 1 3 1 + t - 1 / 2 j = > a 0 = 1 3 i + 1 3 j

Temos também que:

v ( 0 ) = 2 3 i - 2 3 j + 1 3 k

Daí:

v 0 × a 0 = i j k 2 3 - 2 3 1 3 1 3 1 3 0 = - 1 9 i + 1 9 j + 4 9 k

Obtendo assim:

v × a = - 1 9 2 + 1 9 2 + 4 9 2 = 1 81 + 1 81 + 16 81 = 3 2 9 = 2 3

E:

κ 0 = v × a v 3 = 2 3 1 3 = 2 3

Passo 3

Derivando a:

d a d t = - 1 6 1 + t - 3 / 2 i + 1 6 1 + t - 3 / 2 j

Assim, temos:

d a ( 0 ) d t = - 1 6 i + 1 6 j

E daí:

τ 0 = 2 3 - 2 3 1 3 1 3 1 3 0 - 1 6 1 6 0 v × a 2 = 1 3 2 18 2 3 2 = 1 27 2 9 = 1 6

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

Ver passo a passo.

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