Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 13.1 - Ex. 2
Determine o domínio das funções vetoriais.
Passo 1
Opa, tudo bom? A questão pede pra gente encontrar o domínio da seguinte função vetorial
Mas o que exatamente é o domínio da função e como encontramos isso?
O domínio dessa função é o conjunto de valores que pode assumir para que exista!
Por exemplo, vamos olhar pro termo que acompanha o vetor unitário
Se tivéssemos nós teríamos um no denominador, e isso não pode acontecer de jeito nenhum!
Para uma função vetorial o princípio é o mesmo: Vamos buscar o conjunto de valores de onde todos os termos dessa função sejam definidos!
A estratégia é parecida com o exemplo: Ao invés de procurar todos os valores de onde está definida, é mais fácil procurar os valores onde ela não está! E assim a gente monta o nosso domínio!
Passo 2
O domínio de uma função vetorial é a intersecção dos domínios de cada componente da função! Então vamos olhar para cada componente separadamente e definir seus respectivos domínios primeiro!
Para a componente que acompanha
A restrição dessa componente é o denominador, isto é, ele não pode ser igual a zero!
De forma que
Logo o domínio da primeira função componente é:
Passo 3
Para a componente que acompanha
Todo real pertence ao domínio, pois a função seno não tem restrições. Logo o domínio da função é:
Passo 4
Para a componente que acompanha
Lembrando: o , ou logaritmo natural, de um número é o expoente que torna a seguinte expressão verdadeira
Mas elevado a qualquer número nunca será zero ou negativo, de forma que !
Assim temos a seguinte inequação
Logo
Então o domínio dessa componente é
Passo 5
Show! Agora é só pegar a interseção dos três intervalos. Temos os seguintes intervalos:
Logo a interseção dos intervalos deve ser um número real
Então, o domínio da função vetorial será .