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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 13.1 - Ex. 49

Suponha que u e v sejam funções vetoriais que possuem limites quando t → a e seja c uma constante. Demonstre as seguintes propriedades de limites.

(a) lim t → a ⁡ u t + v t = lim t → a ⁡ u t + lim t → a ⁡ v t

(b) lim t → a ⁡ c u t = c lim t → a ⁡ u t

(c) lim t → a ⁡ [ u t   .     v t ] = lim t → a ⁡ u t   .     lim t → a ⁡ v t

(d) lim t → a ⁡ [ u t ×   v t ] = lim t → a ⁡ u t ×   lim t → a ⁡ v t

Passo 1

Fala ai pessoal. Nesta questão vamos apenas fazer demonstrações a partir da definição do limite de uma função vetorial.

u t = x , y , z ⇒   lim t → a ⁡ u t = lim t → a ⁡ x ,   lim t → a ⁡ y   ,   lim t → a ⁡ z

v t = x ' , y ' ,   z ' ⇒   lim t → a ⁡ v t = lim t → a ⁡ x ' ,   lim t → a ⁡ y '   ,   lim t → a ⁡ z '

Vamos começar!

Passo 2

(a) Então vamos começar com a propriedade da soma:

lim t → a ⁡ u t + v t = lim t → a ⁡ [ x , y , z + x ' , y ' ,   z ' ]

= lim t → a ⁡ x + x ' ,   y + y ' , z + z '

Colocando os limites individualmente

= lim t → a ⁡ ( x + x ' ) ,   lim t → a ⁡ ( y + y ' ) ,   lim t → a ⁡ ( z + z ' )

Separando os termos

=   lim t → a ⁡ x ,   lim t → a ⁡ y   ,   lim t → a ⁡ z + lim t → a ⁡ x ' ,   lim t → a ⁡ y '   ,   lim t → a ⁡ z '

Temos então

= lim t → a ⁡ u t + lim t → a ⁡ v t

Passo 3

(b) Agora, a propriedade da multiplicação por escalar:

lim t → a ⁡ c u t = lim t → a ⁡ c x , y , z

Multiplicamos a contante

= l i m c x , c y , c z t → a

Colocamos limites individuais

= lim t → a ⁡ c x ,   lim t → a ⁡ c y ,   lim t → a ⁡ c z

Jogamos a constante para frente do limite

= c lim t → a ⁡ x , c lim t → a ⁡ y   ,   c lim t → a ⁡ z

Colocamos c em evidência

= c lim t → a ⁡ x ,   lim t → a ⁡ y   ,   lim t → a ⁡ z

Temos então

= c lim t → a ⁡ u t

Passo 4

(c) Show! Agora a propriedade do produto escalar:

lim t → a ⁡ u t   .     v t = lim t → a ⁡ x , y , z   .   x ' , y ' , z '

Multiplicando os termos

= lim t → a ⁡ ( x . x ' + y . y ' + z . z ' ' )

Jogamos o limite para todos os membros

= lim t → a ⁡ x   .     lim t → a ⁡ x ' + lim t → a ⁡ y   .     lim t → a ⁡ y ' + lim t → a ⁡ z   .     lim t → a ⁡ z '

Separamos os termos semelhantes

= lim t → a ⁡ x ,   lim t → a ⁡ y   ,   lim t → a ⁡ z   .     lim t → a ⁡ x ' ,   lim t → a ⁡ y '   ,   lim t → a ⁡ z '

Temos então

= lim t → a ⁡ u t   .     lim t → a ⁡ v t

Passo 5

(d) E por último, a propriedade do produto vetorial:

lim t → a ⁡ u t ×   v t = lim t → a ⁡ [ ( x , y , z ) × ( x ' , y ' , z ' ) ]

= lim t → a ⁡ y z ' - z y ' ,   z x ' - x z ' ,   x y ' - y x '

Colocandos os limites

= ( lim t → a ⁡ ( y z ' - z y ' ) ,   lim t → a ⁡ ( z x ' - x z ' )   ,   lim t → a ⁡ ( x y ' - y x ' )

Colocando todos os termos com limites novamente

= lim t → a ⁡ y lim t → a ⁡ z ' - lim t → a ⁡ z lim t → a ⁡ y '   ,   lim t → a ⁡ z   lim t → a ⁡ x ' - lim t → a ⁡ x lim t → a ⁡ z '   ,   lim t → a ⁡ x   lim t → a ⁡ y ' - lim t → a ⁡ y   lim t → a ⁡ x '

Separandos em termos semelhantes

= lim t → a ⁡ x ,   lim t → a ⁡ y   ,   lim t → a ⁡ z × lim t → a ⁡ x ' ,   lim t → a ⁡ y '   ,   lim t → a ⁡ z '

Temos

= lim t → a ⁡ u t ×   lim t → a ⁡ v t

Resposta

Demonstração feita nos Passos de 1 ao 4 .

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