Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.3 - Ex. 38

Calcule a soma da série com precisão de três casas decimais.

Passo 1

Tudo certo, galerinha?

Bom, pessoal, o que o enunciado quer basicamente é que calculemos o valor dessa série com base num limitante para o erro de aproximação.

Quando o enunciado informa “precisão de três casas decimais”, ele quer que cheguemos num número do tipo .

Isso significa que o erro de aproximação deve ser tal que:

Ou seja, um erro de, no máximo, , de modo que se arredondaria o valor em e, portanto, assegurando a precisão na terceira casa decimal.

Show de bola! Chega de blá-blá-blá e vamos calcular o .

Lembrando que para calcular esse erro , temos:

Passo 2

Primeiro, vamos ver se essa função preenche os requisitos para que se possa aplicar o Teste da Integral: função positiva, contínua e decrescente:

Como: , temos:

Obsevando essa função, vemos que ela não pode assumir o valor de 0, pois teríamos uma divisão por zero. Então podemos dizer que a função é contínua em .

Como só estamos lidando com valores de , nossa função nunca será negativa nesse nosso intervalo onde ela é contínua.

Agora só falta verificarmos se ela é decrescente: vemos que o numerador se mantém constante, mas o denominador cresce cada vez mais, e quanto mais ele cresce mais diminui, pois fica um número pequeno dividido por números cada vez maiores.

Vendo que a função é positiva, contínua e decrescente, podemos aplicar o teste da integral.