Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.2 - Ex. 21

Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.

Passo 1

Fala, galerinha! Tudo tranquilo?

Precisamos começar descobrindo se nossa série dada é convergente ou divergente.

Depois precisamos calcular a soma da série.

A estratégia de resolução dessa questão é que veremos se tratar de uma série geométrica e para séries geométricas já temos expressões prontas para análise de convergência e cálculo de soma.

Passo 2

Ao olhar a série vemos que ela tem expoente o que indica que ela pode ser uma série geométrica que é da forma:

Portanto temos uma série geométrica com e .

Como dissemos no passo 1, para análise de convergência ou divergência de uma série geométrica basta analisarmos o valor de :

Para que ela convirja:

Para que ela divirja:

Neste caso e sabemos que então a série é convergente.

Passo 3

Para saber para qual valor a série converge, basta usar a equação da soma de séries geométricas:

Fazendo e

Ou seja:

Resposta

A série converge e o valor de sua soma é: .

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