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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 3.18 - Ex. 4b

Calcule p de modo que as funções abaixo sejam contínuas.

f x = x + 2 p ,     x ≤ - 1 p 2                   ,     x > - 1

Passo 1

Vamos ver o que é necessário para uma função ser contínua no ponto a :

  1. f é definida no ponto a ;

  2. lim x → a ⁡ f x existe;

  3. lim x → a ⁡ f x = f a .

Pronto, vamos usar as três condições para achar p .

Passo 2

Primeiro vamos ver se f é definida no ponto x = - 1 :

A função nos diz que:

f - 1 = - 1 + 2 p

Então ela é definida nesse ponto.

Passo 3

Vamos agora calcular o lim x → - 1 ⁡ f x , para isso valor calcular esse limite pela direita e pela esquerda, se eles forem iguais, o limite existe e possui esse valor:

lim x → - 1 ⁺ ⁡ f x = lim x → - 1 ⁺ ⁡ p 2   = p 2

lim x → - 1 ⁻ ⁡ f x = lim x → - 1 ⁻ ⁡ x + 2 p = - 1 + 2 p

Agora vamos igualar:

p 2 = - 1 + 2 p → p 2 - 2 p + 1 = 0

Vamos ter:

x = - - 2 ± 4 - 4 ⋅ 1 ⋅ 1 2 ⋅ 1 = 2 ± 0 2 = 1

Pronto, assim satisfazemos a segunda e a terceira condição, temos que p = 1 de modo que a função seja contínua.

Resposta

p = 1

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