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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 5.7 - Ex. 1

Calcule o momento de inércia do corpo homogêneo x + y + z ≤ 4 , x ≥ 0 , y ≥ 0 e z ≥ 0 , em relação ao eixo z .

Passo 1

Nesse problema iremos usar a integral tripla para calcular o momento de inércia do corpo. Para isso, vamos usar a relação

∫ ∫ ∫ B r 2 ⋅ d m

Passo 2

Bom, vamos começar! Inicialmente vamos coletar algumas informação do problema. Temos que nosso r é dado pela distância até o eixo z , assim nosso r = x 2 + y 2 e nosso d m é, como visto no capitulo, d m = δ x , y , z ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z . Para facilitar, já que a densidade é constante por ser um corpo homogêneo, vamos chamar a densidade apenas de k . Assim, nossa integral fica

I = ∫ ∫ ∫ B x 2 + y 2 ⋅ k ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z

Se reduzirmos essa integral tripla para uma dupla, ficamos com

I = k ⋅ ∫ ∫ K x 2 + y 2 ⋅ ∫ 0 4 - x - y d z ⋅ d x ⋅ d y = k ⋅ ∫ ∫ K x 2 + y 2 ⋅ 4 - x - y ⋅ d x ⋅ d y

Nosso K será a projeção no plano x y , então temos que x + y ≤ 4 com os seguintes intervalos

0 ≤ x ≤ 4

0 ≤ y ≤ 4 - x

Substituindo na integral, ficamos com

k ⋅ ∫ 0 4 ∫ 0 4 - x 4 ⋅ x 2 + 4 ⋅ y 2 - x 3 - x ⋅ y 2 - y 3 ⋅ d y ⋅ d x =

= k ⋅ ∫ 0 4 4 ⋅ x 2 ⋅ 4 - x + 4 ⋅ 4 - x 3 3 - x 3 ⋅ 4 - x - x ⋅ 4 - x 3 3 - x 2 ⋅ 4 - x 2 2 - 4 - x 4 4 ⋅ d x =

= k 12 ⋅ ∫ 0 4 7 ⋅ x 4 - 64 ⋅ x 3 + 192 ⋅ x 2 - 256 ⋅ x + 256 ⋅ d x = 512 15 ⋅ k

Resposta

I = ∫ ∫ ∫ B r 2 ⋅ d m = 512 15 ⋅ k

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