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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 5.5 - Ex. 1a

Calcule

  1. int int int_B x * d x * d y * d z onde B é o conjunto x >= 0 , x^2 + y^2 + z^2 <= 4 .

Passo 1

Nesse problema iremos calcular a integral tripla usando uma transformação para coordenadas esféricas e calcular o jacobiano, além de analisar o intervalo de integração.

Passo 2

Bom, vamos começar! Temos que nosso conjunto é dado e precisamos nos atentar ao fato de que x >= 0 , ou seja, nossa esfera será meia esfera apenas. Aplicando a transformação para coordenadas esféricas, temos que

x = rho * sin varphi * cos theta

y = rho * sin varphi * sin theta

z = rho * cos varphi

Com o jacobiano sendo d x * d y * d z = rho^2 * sin varphi * d rho * d theta * d varphi . Os novos intervalos de integração serão

0 <= rho <= 2

- (pi)/(2) <= theta <= (pi)/(2)

0 <= varphi <= pi

Para theta temos esse intervalo especifico por causa que teremos apenas sua metade positiva. Substituindo na integral, ficamos com

int int int_B x * d x * d y * d z = int_0^(pi) int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) int_0^2 rho * sin varphi * cos theta * rho^2 * sin varphi * d rho * d theta * d varphi =

= int_0^(pi) sin^2 varphi * d varphi * int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) cos theta * d theta * int_0^2 rho^3 * d rho = 4 * pi

Resposta

int int int_B x * d x * d y * d z = 4 * pi

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Identifique a superfície com a equação dada.
Use coordenadas esféricas.
Descreva em palavras a superfície com a equação dada.
Esboce o sólido descrito pelas inequações:
Esboce o sólido descrito pelas inequações: