Enunciado

D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o .

sen x e x_0 = 0

Passo 1

A primeira coisa que devemos fazer é achar as derivadas até a ordem 2 da função f (x) = sen x

f^' (x) = cos x

f^(' ') (x) = - sen x

Passo 2

Agora, temos que achar as derivadas no ponto x_0 = 0 , além de f ( x_0 )

f (0) = sen 0

f (0) = 0

f^' (0) = cos 0

f^' (0) = 1

f^(' ') (0) = - sen 0

f^(' ') (0) = 0

Passo 3

Com tudo isso, basta substituir no polinômio de Taylor de ordem 2

f (x) = f (x_0) + f^' (x_0) (x - x_0) + (f^(' ') (x_0))/(2) (x - x_0)^2

f (x) = 0 + 1 (x - 0) + (0)/(2) (x - 0)^2

O polinômio vai ficar:

P_2 (x) = x

Resposta

P_2 (x) = x

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19. Calcule s e n31 ° com precisão de três casas decimais, usando o polinômio de Taylor do exercício 5 em π 6 . ( Use a aproximação 1 180 π ≈ 0,0175 .)
Seja f derivável até 2ª ordem no intervalo fechado [ a , b ] e seja x 0 ∈ [ a , b ] . Mostre que existem M0 tal que, para todo x em [ a , b ] | f x - P x | ≤ M x - x 0 2 Onde P x = f x 0 + f ' x 0 x -
Seja f derivável até 2ª ordem no intervalo I e seja x 0 ∈ I . Mostre que existe uma função ϕ ( x ) definida em I tal que, para todo x em I f x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 x - x 0 2 + ϕ x x
Mostre que para todo x , cos ⁡ x = lim n → ∞ ⁡ 1 - x 2 2 + x 4 4 ! - x 6 6 ! + . .. + - 1 n x 2 n 2 n ! Ou cos ⁡ x = 1 - x 2 2 + x 4 4 ! - x 6 6 ! + . ..
Mostre que, para todo x - 1 , ln ⁡ x + 1 = x - x 2 2 + x 3 3 - x 4 4 + … + - 1 nx n + 1 n + 1 + ∫ 0 x E t d t