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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.2 - Ex. 1e

D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o .

f (x) = sqrt(x) e x_0 = 4

Passo 1

A primeira coisa que devemos fazer é achar as derivadas até a ordem 2 da função f (x) = sqrt(x)

f^' (x) = (1)/(2 sqrt(x))

f^(' ') (x) = - (1)/(4 √ x^3)

Passo 2

Agora, temos que achar as derivadas no ponto x_0 = 4 , além de f ( x_0 )

f (4) = sqrt(4)

f (4) = 2

f ' ( 4 ) = (1)/(2 sqrt(4))

f^' (4) = (1)/(4)

f^(' ') (4) = - (1)/(4 √ 4^3)

f^(' ') (4) = - (1)/(32)

Passo 3

Com tudo isso, basta substituir no polinômio de Taylor de ordem 2

f (x) = f (x_0) + f^' (x_0) (x - x_0) + (f^(' ') (x_0))/(2) (x - x_0)^2

f (x) = f (4) + f^' (4) (x - 4) + (f^(' ') (4))/(2) (x - 4)^2

f (x) = 2 + (1)/(4) (x - 4) - (1)/(64) (x - 4)^2

f (x) = 2 + (x)/(4) - 1 - (x^2)/(64) + (x)/(8) - (1)/(4)

O polinômio vai ficar:

P_2 (x) = (3)/(4) + (3 x)/(8) - (x^2)/(64)

Resposta

P_2 (x) = (3)/(4) + (3 x)/(8) - (x^2)/(64)

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21. Use o polinômio de Maclaurin para a função definida por f x = ln ⁡ 1 + x 1 - x para calcular o valor de ln ⁡ 1,2 com precisao até a quarta casa decimal. Compare o resultado com o do exercício 20.
25. Mostre que a fórmula 1 + x - 1 / 2 ≈ 1 - 1 2 x é precisa até a segunda casa decimal se - 0,1 ≤ x ≤ 0 .
28. (a) Use o polinômio de Maclaurin do primeiro grau para aproximar e k se 0k0,01 . (b) Estime o erro em termos de k.
26. Faça esboços dos gráficos de y = s e n xey = m x no mesmo conjunto de eixos. Note que se m for positivo próximo de zero, então os gráficos interceptam-se num ponto cuja abscissa é próxima de π . S
24. Mostre que a fórmula 1 + x 3 / 2 ≈ 1 + 3 2 x é precisa até a terceira casa decimal se - 0,03 ≤ x ≤ 0 .