Deter mino o polinômio de Taylor, de ordem 2, de f em v olta do x0.

f(x) = raiz(x) e x₀ = 4

Passo 1

A primeira coisa que devemos fazer é achar as derivadas até a ordem 2 da função f (x) = sqrt(x)

f^' (x) = (1)/(2 sqrt(x))

f^(' ') (x) = - (1)/(4 √ x^3)

Passo 2

Agora, temos que achar as derivadas no ponto x_0 = 4 , além de f ( x_0 )

f (4) = sqrt(4)

f (4) = 2

f ' ( 4 ) = (1)/(2 sqrt(4))

f^' (4) = (1)/(4)

f^(' ') (4) = - (1)/(4 √ 4^3)

f^(' ') (4) = - (1)/(32)

Passo 3

Com tudo isso, basta substituir no polinômio de Taylor de ordem 2

f (x) = f (x_0) + f^' (x_0) (x - x_0) + (f^(' ') (x_0))/(2) (x - x_0)^2

f (x) = f (4) + f^' (4) (x - 4) + (f^(' ') (4))/(2) (x - 4)^2

f (x) = 2 + (1)/(4) (x - 4) - (1)/(64) (x - 4)^2

f (x) = 2 + (x)/(4) - 1 - (x^2)/(64) + (x)/(8) - (1)/(4)

O polinômio vai ficar:

P_2 (x) = (3)/(4) + (3 x)/(8) - (x^2)/(64)

Resposta

P_2 (x) = (3)/(4) + (3 x)/(8) - (x^2)/(64)

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