Enunciado
Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 7.10 - Ex. 13
Calcule , Onde:
E é a curva parametrizada:
Com .
Passo 1
Aooouubaaa... Firme?? Bão tamem! Vamos partir pra cima dessa questãozinha aqui.
O enunciado não da nada pra gente tentar enxergar quem é a curva... então só nos resta tentar simplificar aquele ali aplicando Stokes:
Com o campo podemos tentar achar o rotacional e com a parametrização da curva talvez a gente consiga brincar.
Vamos lá então; lembrando como achamos o rotacional:
Já deve ter cansado de ver isso né não?! Do campo que o enunciado nos deu:
Bora achar essas derivadas parciais aí então:
Já dá até pra prever o último né?!
Como diria Deadpool.... “ô roteirozinho fraco!”
Nosso rotacional:
Bom, o que isso significa pra gente?? Basicamente nos diz que:
E quando isso acontece, temos duas afirmações a respeito do nosso campo vetorial:
- é um campo gradiente, ou seja, existe uma função tal que:
- O campo é conservativo, ou seja:
Pegou a ideia?
Se a gente abrir o item (i), teremos o seguinte:
Passo 2
Agora repare que precisamos descobrir a real forma desse para resolvermos a questão. Então se a gente integrar algum daqueles carinhas talvez obtenhamos algo; vamos ver:
Integrando em :
Teremos:
A gente admite que possa existir algo em termos de e que não aparecem quando a gente deriva isso em termo de .
Beleza, mas então se essa for a real forma da nossa , ao derivarmos ela em relação a é de se esperar que vamos obter . Vamos verificar se isso vale:
E como o nosso :
Note que isso só será verdade se:
Integrando isso:
Ficaremos com:
Novamente, temos que admitir a possibilidade de existir algo em função de que some ao derivarmos em relação a .
Portanto a nova forma da nossa função até agora é:
Seguindo na mesma ideia, se essa equação for verdadeira, ao derivarmos em relação a esperamos obter :
Ou seja:
E isso só será válido se:
Huuummmm então .
Então no final das contas a verdadeira forma da nossa é:
Passo 3
Show dibola... Agora tem um detalhe, o enunciado nos deu a seguinte parametrização:
Então o que precisamos fazer é reescrever a nossa somente em termo de :
Caaraacaa mlk... Que que issoo...?!
Feião demais né... mas a gente não precisa nem perder tempo tentando simplificar, quebrando a cabeça só pra ficar mais apresentável...
Isso porque o enunciado nos disse que:
E como a gente disse que esse nosso campo é conservativo:
A gente só precisa substituir e ; olha só:
Já tava ruim, agora parece que piorou... Mas calma-lá, repare que várias coisas ali vão sumir:
E agora em :
Mesma ideia, varias coisinhas somem:
E finalmente grazadeus:
Ufa... é isso então.
Resposta
Concluimos que: