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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 7.10 - Ex. 10

Calcule

∬ S r o t F →   .     n →   d s

Onde F x , y , z = x - x 2 z     ;     y z 3 - y 2     ;     x 2 y - x z     e S é qualquer superfície cuja borda seja uma curva fechada no plano x y .

Passo 1

Faaaala Clóvi... Recuperado para mais uma questãozinha que envolve o Stokes? Só vamo!

Seguinte, esse enunciado ta meio enigmático né não??

“qualquer superfície cuja borda seja uma curva fechada no plano x y .” Que raios isso significa??

Bom de certa forma o que ele ta querendo dizer é que qualquer que seja essa superfície, o vetor normal à ela é na também normal ao plano x y .

Então o que podemos concluir por enquanto é que o vetor normal a essa superfície será normal ao plano z = 0 .

Se você se lembrar bem, é muito fácil encontrar o vetor normal a um plano; seja então o plano genérico:

a x + b y + c z = d

Então o vetor normal a esse cara será:

n → = a   ; b   ; c

Bem tranquilo, né?! Trazendo isso pro nosso probreminha, temos o plano 0 x + 0 y + z = 0 ; portanto:

n → = 0   ; 0   ; 1

Pegou a ideia?

Passo 2

Agora só falta uma coisa antes que possamos tacar tudo dentro da integral e mandar bala.

Falta o rotacional, e a gente vai achar esse carinha assim ó:

r o t F → = ∇   x   F → = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F 1 F 2 F 3 = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z   ;   ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x     ;   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Assusta um bocado, mas não é nada demais. Talvez você não saiba quem são aqueles bang tudo ali, mas eles foram dados no enunciado:

F x , y , z = x - x 2 z ⏟ F 1     ;     y z 3 - y 2 ⏟ F 2     ;     x 2 y - x z ⏟ F 3

Então tudo que a gente precisa fazer é derivar. Vamos lá:

Passo 3

∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z = x 2 - 3 y z 2

∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x = - x 2 - 2 y x - z = z - x 2 - 2 y x

E

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 0 - 0 = 0

Portanto:

r o t F → = x 2 - 3 y z 2     ;     z - x 2 - 2 y x     ;   0

Agora finalmente podemos tacar tudo na integral:

∬ S x 2 - 3 y z 2     ;     z - x 2 - 2 y x     ;   0     .       0   ; 0   ; 1   d s

Por fim:

∬ S x 2 - 3 y z 2 0 +   z - x 2 - 2 y x 0 + 0 1 d s = 0

É só partir pro abraço!

Resposta

Portanto:

∬ S r o t F →   .     n →   d s = 0

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