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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 11.1 - Ex. 5

5. Seja F ( x ,   y ,   z )   = ( 0,0 , x 3 ) e seja σ a superfície z = y + 4 com 1   ≤   x 2 + y 2 ≤   4 , com normal apontando para baixo. Calcule

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S  

Passo 1

Vamos calcular pelo teorema de Stolkes

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S =   ∫ γ F ⋅ d r

E nossa região projetando no plano XY é essa abaixo

Como podemos ver pela equação

1   ≤   x 2 + y 2 ≤   4

Logo teremos que fazer uma composição de integral de contorno

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S =   - ∫ γ 1 F ⋅ d r + ∫ γ 2 F ⋅ d r

Lembre-se que a circulação do contorno importa para o cálculo. Como queremos excluir o círculo interno, ele terá circulação contraria e sinal negativo na integral

Passo 2

Vamos parametrizar nossas curvas e calcular essa integral de linha. Nosso γ 1 pode ser escrito da seguinte forma

    γ 1 = cos ⁡ t ,   s e n   t ,   s e n   t + 4

γ 1 ' = - s e n   t , cos ⁡ t , cos ⁡ t

Assim

F   γ 1   t = 0,0 , cos 3 ⁡ t

E nossa curva γ 2 podemos parametrizar da seguinte forma

γ 2 = 2 cos ⁡ t ,   2 sin ⁡ t , 2 sin ⁡ t + 4

γ 2 ' = - 2 sin ⁡ t , 2 cos ⁡ t , 2 cos ⁡ t

E nossa função parametrizada fica

F   γ 2   t = 0,0 , 8 cos 3 ⁡ t

Passo 3

Vamos integral

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S =   - ∫ γ 1 F ⋅ d r + ∫ γ 2 F ⋅ d r

=   - ∫ γ 1 F ( γ 1 t ) ⋅ ( γ ' 1 ) d t + ∫ γ 2 F ( γ 2 t ) ⋅ ( γ ' 2 ) d t

=   - ∫ 0 2 π 0,0 , cos 3 ⁡ t ⋅ - s e n   t , cos ⁡ t , cos ⁡ t d t + ∫ 0 2 π 0,0 , 8 cos 3 ⁡ t ⋅ - 2 sin ⁡ t , 2 cos ⁡ t , 2 cos ⁡ t d t

=   - ∫ 0 2 π cos 4 ⁡ t d t + ∫ 0 2 π 16 cos 4 ⁡ t d t

= 15 ∫ 0 2 π cos 4 ⁡ t d t

= 45 π 4

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S =   45 π 4

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