Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 11.1 - Ex. 7

7. Seja σ a superfície e sejaum campo vetorial de classe C1 num aberto contendo σ. Justifique aafirmação

onde Γ1 (t) = (cos t, sen t, 0), 0 ≤ t ≤ 2π, Γ2 (t) = (cos t, - sen t, 1), 0 ≤ t ≤ 2π, e a normal apontando para fora do cilindro.

(Sugestão: Aplique o teorema de Stokes às porções de superfíciesregulares σ1 (u, v) = (cos u, sen u, v), 0 ≤ u ≤ π, 0 ≤ v ≤ 1, e σ2 (u, v) =(cos u, sen u, v), π ≤ u ≤ 2π, 0 ≤ v ≤ 1.)

Passo 1

Essa questão vai ser totalmente teórica, e vamos precisar usar de truques geométricos para sua resolução.

Temos essa casca cilíndrica. Para prova a proposição do enunciado precisaremos fazer o seguinte, partir essa casca em 2 partes.

E vamos aplicar a integral de linha no contorno. Lembrando que sempre queremos o sentido anti-horario na nossa circulação. Assim os contornos ficam

E faremos

Para todas as 8 curvas sinalizadas. Para economizar tempo podemos usar de logica. Afinal as curvas C5 e C1 são a mesma região, contudo estão em sentidos contrários, logo se somarmos as integrais de linha obtermos um valor nulo, pois elas se anularão. O mesmo raciocínio vale para as curvas C3 e C7. Logo Nossas integrais de linha se resumem a

Que são círculos em circulação contraria

Passo 2

Podemos dizer então que C6 e C2 agora fazem parte da mesma curva, digamos .

E também que C4 e C8 estão também na mesma curva, digamos .

Logo uma possível parametrização poderia ser

E com isso conseguimos provar o teorema do enunciado.Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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