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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 11.1 - Ex. 2

2. Seja F um campo vetorial de classe C1 no aberto Ω. Sejam σ1 e σ2 porções de superfícies regulares com fronteiras Γ1 e Γ2 orientadas positivamente com relação às normais n 1 e   n 2 tais que I m   σ 1   e   I m   σ 2 estejam contidas em Ω. Suponha, ainda, que Γ1 é obtida de Γ2 poruma mudança de parâmetros que conserva a orientação (veja Seção 6.3).Prove

∫ ∫ σ 1   ∇ × F → ⋅   n → 1   d S = ∫ ∫ σ 2   ∇ × F → ⋅   n 2 →   d S

Interprete

Passo 1

Essa é uma questão puramente conceitual. O enunciado diz que “ Γ 1 é obtida de Γ 2 poruma mudança de parâmetros que conserva a orientação” ou seja Estamos falando de superfícies que tem a mesma fronteira. Como por exemplo a imagem abaixo

São duas superfícies, mas que compartilham a fronteira x 2 + y 2 = 1

Pelo teorema de stolkes

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S =   ∫ γ F ⋅ d r  

OU seja O fluxo através da superfície é igual ao trabalho feito pela nossa função percorrendo a fronteira. Se temos duas superfícies que tem a mesma fronteira, afinal :

Γ 1 =   Γ 2

O que implica em

∫ γ 1 F ⋅ d r = ∫ γ 2 F ⋅ d r

Por Stokes podemos dizer que

∫ ∫ σ 1   ∇ × F → ⋅   n → 1   d S = ∫ ∫ σ 2   ∇ × F → ⋅   n 2 →   d S

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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