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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.7 - Ex. 7e

Calcule F^' (x) onde F (x) é igual a

5 x + (x)/(x - 1)

Passo 1

Para calcular essa derivada vamos usar algumas regras, de primeira dá pra perceber que vamos usar a da soma e a regra da divisão:

F^' (x) = (5 x + (x)/(x - 1))^' = (5 x)^' + ((x)/(x - 1))^'

A da divisão é da forma:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2)

Temos que:

f (x) = x

e

g (x) = x - 1

Vamos agora só montar na fórmula:

((x)/(x - 1))^' = ((x) ' * (x - 1) - (x) * (x - 1) ')/((x - 1)^2)

Passo 2

A primeira derivada é simples, usamos a regra do polinômio e da multiplicação por constante:

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(k f (x))^' = k f ' ( x )

Assim:

(5 x)^' = 5 (x)^' = 5 x^(1 - 1) = 5 x^0 = 5 * 1 = 5

Vamos agora calcular f ' ( x ) , usando a regra do polinômio:

(x^n)^' = n x^(n - 1)

Aplicando:

f ' ( x ) = (x)^' = x^(1 - 1) = x^0 = 1

Com g ' ( x ) vamos usar outra regra, a da função constante:

(c)^' = 0

Aplicando:

g ' ( x ) = (x - 1)^' = x^(1 - 1) - 0 = x^0 = 1

Passo 3

Agora é só substituir na expressão e pronto:

F^' (x) = (5 x)^' + ((x)/(x - 1))^' = (5 x)^' + (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2) = 5 + ((x) ' * (x - 1) - (x) * (x - 1) ')/((x - 1)^2) = 5 + (1 * (x - 1) - (x) * 1)/((x - 1)^2) = 5 + (x - 1 - x)/((x - 1)^2) = 5 + (- 1)/((x - 1)^2)

Resposta

F^' (x) = 5 + (- 1)/((x - 1)^2)

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