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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.7 - Ex. 7b

Calcule F^' (x) onde F (x) é igual a

(x^2 - 1)/(x + 1)

Passo 1

Para calcular essa derivada vamos usar algumas regras, de primeira dá pra perceber que vamos usar a regra da divisão:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2)

Temos que:

f (x) = x^2 - 1

e

g (x) = x + 1

Vamos agora só montar na fórmula:

F^' (x) = ((x^2 - 1)/(x + 1))^' = ((x^2 - 1) ' * (x + 1) - (x^2 - 1) * (x + 1) ')/((x + 1)^2)

Passo 2

Vamos calcular f ' ( x ) , usando a regra do polinômio e da função constante:

(x^n)^' = n x^(n - 1) e (c)^' = 0

Assim:

f ' ( x ) = (x^2 - 1)^' = 2 x^(2 - 1) - 0 = 2 x

Com g ' ( x ) vamos usar as mesmas regras:

g ' ( x ) = (x + 1)^' = x^(1 - 1) + 0 = x^0 = 1

Passo 3

Agora é só substituir na expressão e pronto:

F^' (x) = ((x^2 - 1)/(x + 1))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2) = ((x^2 - 1)^' * (x + 1) - (x^2 - 1) * (x + 1) ')/((x + 1)^2) = (2 x * (x + 1) - (x^2 - 1) * 1)/((x + 1)^2) = (2 x^2 + 2 x - x^2 + 1)/((x + 1)^2) = (x^2 + 2 x + 1)/((x + 1)^2)

Resposta

F^' (x) = (x^2 + 2 x + 1)/((x + 1)^2)

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