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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.7 - Ex. 7h

Calcule F^' (x) onde F (x) é igual a

(x + root(4)(x))/(x^2 + 3)

Passo 1

Para calcular essa derivada vamos usar algumas regras, de primeira dá pra perceber que vamos usar a regra da divisão:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2)

Temos que:

f (x) = x + root(4)(x)

e

g (x) = x^2 + 3

Vamos agora só montar na fórmula:

F^' (x) = ((x + root(4)(x))/(x^2 + 3))^' = ((x + root(4)(x)) ' * (x^2 + 3) - (x + root(4)(x)) * (x^2 + 3) ')/((x^2 + 3)^2)

Passo 2

Vamos calcular f ' ( x ) , usando a regra do polinômio:

(x^n)^' = n x^(n - 1)

Assim:

f ' ( x ) = (x + root(4)(x))^' = (x + x^((1)/(4)))^' = x^(1 - 1) + (1)/(4) * x^((1)/(4) - 1) = x^0 + (1)/(4) * x^((1 - 4)/(4)) = 1 + (1)/(4) * x^((- 3)/(4)) = 1 + (1)/(4 x^((3)/(4))) = 1 + (1)/(4 root(4)(x^3))

Com g ' ( x ) vamos usar também outra regra, a da função constante:

(c)^' = 0

Aplicando:

g ' ( x ) = (x^2 + 3)^' = 2 x^(2 - 1) + 0 = 2 x

Passo 3

Agora é só substituir na expressão e pronto:

F^' (x) = ((x + root(4)(x))/(x^2 + 3))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2) = ((1 + (1)/(4 root(4)(x^3))) * (x^2 + 3) - (x + root(4)(x)) * 2 x)/((x^2 + 3)^2) = (x^2 + 3 + (x^2 + 3)/(4 root(4)(x^3)) - 2 x^2 - 2 x root(4)(x))/((x^2 + 3)^2) = (- x^2 + 3 + (x^2 + 3)/(4 root(4)(x^3)) - 2 x root(4)(x))/((x^2 + 3)^2) = ((- x^2 4 root(4)(x^3) + 12 root(4)(x^3) + x^2 + 3 - 8 x root(4)(x^4))/(4 root(4)(x^3)))/((x^2 + 3)^2) = (- x^2 4 root(4)(x^3) + 12 root(4)(x^3) + x^2 + 3 - 8 x root(4)(x^4))/(4 root(4)(x^3)) * (1)/((x^2 + 3)^2) = (- x^2 4 x^((3)/(4)) + 12 root(4)(x^3) + x^2 + 3 - 8 x^2)/(4 root(4)(x^3) (x^2 + 3)^2) = (- 4 x^((11)/(4)) + 12 root(4)(x^3) + 3 - 7 x^2)/(4 root(4)(x^3) (x^2 + 3)^2)

Resposta

F^' (x) = (- 4 x^((11)/(4)) + 12 root(4)(x^3) + 3 - 7 x^2)/(4 root(4)(x^3) (x^2 + 3)^2)

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