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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.7 - Ex. 7a

Calcule F^' (x) onde F (x) é igual a

(x)/(x^2 + 1)

Passo 1

Fala pessoal, nosso objetivo é calcular F^' (x) onde

F (x) = (x)/(x^2 + 1)

Para isso vamos usar a regra do quociente, que diz que

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2)

Passo 2

Como

F (x) = (x)/(x^2 + 1)

Temos que:

f (x) = x

e

g (x) = x^2 + 1

Vamos agora só montar na fórmula:

F^' (x) = ((x)/(x^2 + 1))^'

= ((x)^' * (x^2 + 1) - (x) * (x^2 + 1) ')/((x^2 + 1)^2)

Passo 3

Vamos calcular f ' ( x ) , usando a regra do polinômio:

(x^n)^' = n x^(n - 1)

Assim:

f ' ( x ) = (x)^'

= x^(1 - 1)

= 1

Com g ' ( x ) além da regra do polinômio vamos usar a da função constante:

(c)^' = 0

Aplicando:

g ' ( x ) = (x^2 + 1)^'

= 2 x^(2 - 1) + 0

= 2 x

Passo 4

Agora é só substituir na expressão e pronto:

F^' (x) = ((x)/(x^2 + 1))^'

= (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2)

= ((x) ' * (x^2 + 1) - (x) * (x^2 + 1) ')/((x^2 + 1)^2)

= (1 * (x^2 + 1) - (x) * 2 x)/((x^2 + 1)^2)

= (x^2 + 1 - 2 x^2)/((x^2 + 1)^2)

= (1 - x^2)/((x^2 + 1)^2)

Resposta

F^' (x) = (1 - x^2)/((x^2 + 1)^2)

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