Calcule F'(x) onde F(x) é igual a

x / (x^2 + 1)

Passo 1

Fala pessoal, nosso objetivo é calcular F ' x onde

F x = x x 2 + 1

Para isso vamos usar a regra do quociente, que diz que

f x g x ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2

Passo 2

Como

F x = x x 2 + 1

Temos que:

f x = x

e

g x = x 2 + 1

Vamos agora só montar na fórmula:

F ' x = x x 2 + 1 '

= x ' ⋅ x 2 + 1 - x ⋅ x 2 + 1 ' x 2 + 1 2

Passo 3

Vamos calcular f ' ( x ) , usando a regra do polinômio:

x n ' = n x n - 1

Assim:

f ' ( x ) = x '

= x 1 - 1

= 1

Com g ' ( x ) além da regra do polinômio vamos usar a da função constante:

c ' = 0

Aplicando:

g ' ( x ) = x 2 + 1 '

= 2 x 2 - 1 + 0

= 2 x

Passo 4

Agora é só substituir na expressão e pronto:

F ' x = x x 2 + 1 '

= f ' x g x - f x g ' x g x 2

= x ' ⋅ x 2 + 1 - x ⋅ x 2 + 1 ' x 2 + 1 2

= 1 ⋅ x 2 + 1 - x ⋅ 2 x x 2 + 1 2

= x 2 + 1 - 2 x 2 x 2 + 1 2

= 1 - x 2 x 2 + 1 2

Resposta

F ' x = 1 - x 2 x 2 + 1 2

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