Calcule F'(x) onde F(x) é igual a

raiz(x) / (x + 1)

Passo 1

Para calcular essa derivada vamos usar algumas regras, de primeira dá pra perceber que vamos usar a regra da divisão:

f x g x ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2

Temos que:

f x = x = x 1 2

e

g x = x + 1

Vamos agora só montar na fórmula:

F ' x = x x + 1 ' = x 1 2 ' ⋅ x + 1 - x 1 2 ⋅ x + 1 ' x + 1 2

Passo 2

Vamos calcular f ' ( x ) , usando a regra do polinômio:

x n ' = n x n - 1

Assim:

f ' ( x ) = x 1 2 ' = 1 2 ⋅ x 1 2 - 1 = 1 2 ⋅ x 1 - 2 2 = 1 2 ⋅ x - 1 2 = 1 2 x 1 2 = 1 2 x

Com g ' ( x ) vamos usar outra regra, a da função constante:

c ' = 0

Aplicando:

g ' ( x ) = x + 1 ' = x 1 - 1 + 0 = x 0 = 1

Passo 3

Agora é só substituir na expressão e pronto:

F ' x = x x + 1 ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2 = x 1 2 ' ⋅ x + 1 - x 1 2 ⋅ x + 1 ' x + 1 2 = 1 2 x ⋅ x + 1 - x 1 2 ⋅ 1 x + 1 2 = x + 1 2 x - x x + 1 2 = x + 1 - 2 x 2 x x + 1 2 = 1 - x 2 x x + 1 2 = 1 - x 2 x ⋅ 1 x + 1 2 = 1 - x 2 x x + 1 2

Resposta

F ' x = 1 - x 2 x x + 1 2

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