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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.7 - Ex. 7d

Calcule F^' (x) onde F (x) é igual a

(sqrt(x))/(x + 1)

Passo 1

Para calcular essa derivada vamos usar algumas regras, de primeira dá pra perceber que vamos usar a regra da divisão:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2)

Temos que:

f (x) = sqrt(x) = x^((1)/(2))

e

g (x) = x + 1

Vamos agora só montar na fórmula:

F^' (x) = ((sqrt(x))/(x + 1))^' = ((x^((1)/(2))) ' * (x + 1) - (x^((1)/(2))) * (x + 1) ')/((x + 1)^2)

Passo 2

Vamos calcular f ' ( x ) , usando a regra do polinômio:

(x^n)^' = n x^(n - 1)

Assim:

f ' ( x ) = (x^((1)/(2)))^' = (1)/(2) * x^((1)/(2) - 1) = (1)/(2) * x^((1 - 2)/(2)) = (1)/(2) * x^((- 1)/(2)) = (1)/(2 x^((1)/(2))) = (1)/(2 sqrt(x))

Com g ' ( x ) vamos usar outra regra, a da função constante:

(c)^' = 0

Aplicando:

g ' ( x ) = (x + 1)^' = x^(1 - 1) + 0 = x^0 = 1

Passo 3

Agora é só substituir na expressão e pronto:

F^' (x) = ((sqrt(x))/(x + 1))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2) = ((x^((1)/(2))) ' * (x + 1) - (x^((1)/(2))) * (x + 1) ')/((x + 1)^2) = ((1)/(2 sqrt(x)) * (x + 1) - (x^((1)/(2))) * 1)/((x + 1)^2) = ((x + 1)/(2 sqrt(x)) - sqrt(x))/((x + 1)^2) = ((x + 1 - 2 x)/(2 sqrt(x)))/((x + 1)^2) = ((1 - x)/(2 sqrt(x)))/((x + 1)^2) = (1 - x)/(2 sqrt(x)) * (1)/((x + 1)^2) = (1 - x)/(2 sqrt(x) (x + 1)^2)

Resposta

F^' (x) = (1 - x)/(2 sqrt(x) (x + 1)^2)

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