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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 4.7 - Ex. 8d

Usando a definição, determinar a derivada das seguintes funções:

f x = 1 - x x + 3

Passo 1

Vamos calcular a derivada pela definição, vamos lembrar a fórmula:

f ' x = lim ∆ x → 0 ⁡ f x + ∆ x - f x ∆ x

Pronto, agora vamos aplicar x + ∆ x na função:

f ' x = lim ∆ x → 0 ⁡ f x + ∆ x - f x ∆ x = lim ∆ x → 0 ⁡ 1 - x + ∆ x x + ∆ x + 3 - 1 - x x + 3   ∆ x

Passo 2

Agora vamos destrinchar essa expressão, vamos lá:

lim ∆ x → 0 ⁡ 1 - x + ∆ x x + ∆ x + 3 - 1 - x x + 3   ∆ x = lim ∆ x → 0 ⁡ 1 - x - ∆ x x + ∆ x + 3 - 1 - x x + 3 ⋅ 1 ∆ x =

= lim ∆ x → 0 ⁡ 1 - x - ∆ x x + 3 - x + ∆ x + 3 1 - x x + ∆ x + 3 x + 3 ⋅ 1 ∆ x =

= lim ∆ x → 0 ⁡ x - x 2 - x ∆ x + 3 - 3 x - 3 ∆ x - x + ∆ x + 3 - x 2 - x ∆ x - 3 x x + ∆ x + 3 x + 3 ⋅ 1 ∆ x =

= lim ∆ x → 0 ⁡ x - x 2 - x ∆ x + 3 - 3 x - 3 ∆ x - x - ∆ x - 3 + x 2 + x ∆ x + 3 x x + ∆ x + 3 x + 3 ⋅ 1 ∆ x =

= lim ∆ x → 0 ⁡ - 4 ∆ x x + ∆ x + 3 x + 3 ⋅ 1 ∆ x

Pronto, destrinchamos o máximo que deu, agora é só cortar os ∆ x do numerador com o do denominador e aplicar o limite:

lim ∆ x → 0 ⁡ - 4 ∆ x x + ∆ x + 3 x + 3 ⋅ 1 ∆ x = lim ∆ x → 0 ⁡ - 4 x + ∆ x + 3 x + 3 =

= - 4 x + 0 + 3 x + 3 = - 4 x + 3 2

Tudo certo, achamos que a derivada de f x = 1 - x x + 3 é f ' x = - 4 x + 3 2 .

Resposta

f ' x = - 4 x + 3 2

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