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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.7 - Ex. 9f

Calcule f^' (x) onde f (x) é igual a

(3)/(sen x + cos x)

Passo 1

Para calcular essa derivada vamos usar algumas regras, de primeira dá pra perceber que vamos usar a regra da divisão:

((h (x))/(g (x)))^' = (h^' (x) g (x) - h (x) g ' (x))/([g (x)]^2)

Temos que:

h (x) = 3

e

g (x) = sen x + cos x

Vamos agora só montar na fórmula:

f^' (x) = ((3)/(sen x + cos x))^' = ((3)^' * (sen x + cos x) - (3) * (sen x + cos x) ')/((sen x + cos x)^2)

Passo 2

Vamos usar a regra da função constante e da função trigonométrica:

(c)^' = 0

(sen (x))^' = cos (x)

(cos (x))^' = - sen (x)

Passo 3

Vamos calcular h ' ( x ) , usando a regra do polinômio e da função constante:

h^' (x) = (3)^' = 0

Com g ' ( x ) vamos usar a regra da função trigonométrica:

g^' (x) = (sen x + cos x)^' = (sen x)^' + (cos x)^' = cos (x) + (- sen (x)) = cos (x) - sen (x)

Passo 4

Agora é só substituir de volta na fórmula e pronto:

f^' (x) = ((3)/(sen x + cos x))^' = ((3)^' * (sen x + cos x) - (3) * (sen x + cos x) ')/((sen x + cos x)^2) = (0 * (sen x + cos x) - (3) * (cos (x) - sen (x)))/((sen x + cos x)^2) = (- 3 (cos (x) - sen (x)))/((sen x + cos x)^2)

Resposta

f^' ( x ) = (- 3 (cos (x) - sen (x)))/((sen x + cos x)^2)

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