Calcule f'(x) onde f(x) é igual a

x \* cotg(x)

Passo 1

Aqui vamos usar a regra do produto:

h x g x ' = h ' x g x + g ' x h x

Temos que:

h x = x

e

g x = cotg ⁡ x

Assim:

f ' x = h ' x g x + g ' x h x = x ' ⋅ cotg ⁡ x + cotg ⁡ x ' ⋅ x

Passo 2

Vamos usar a regra do polinômio e da função trigonométrica:

x n ' = n x n - 1

cotg ⁡ x ' = - cos s ec 2 ⁡ x

Passo 3

Vamos calcular h ' ( x ) , usando a regra do polinômio:

h ' ( x ) = x ' = x 1 - 1 = x 0 = 1

Com g ' ( x ) vamos usar a regra e da função trigonométrica:

g ' ( x ) = cotg ⁡ x ' = - cos s ec 2 ⁡ x

Passo 4

Agora é só substituir de volta na fórmula e pronto:

f ' x = h ' x g x + g ' x h x = x ' ⋅ cotg ⁡ x + cotg ⁡ x ' ⋅ x = 1 ⋅ cotg ⁡ x + - co s sec 2 ⁡ x ⋅ x = cotg ⁡ x - x cos s ec 2 ⁡ x

Resposta

f ' x = cotg ⁡ x - x cossec 2 ⁡ x

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