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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.7 - Ex. 9l

Calcule f^' (x) onde f (x) é igual a

x cotg x

Passo 1

Aqui vamos usar a regra do produto:

(h (x) g (x))^' = h ' (x) g (x) + g ' (x) h (x)

Temos que:

h (x) = x

e

g (x) = cotg x

Assim:

f^' (x) = h^' (x) g (x) + g^' (x) h (x) = (x)^' * cotg x + (cotg x)^' * x

Passo 2

Vamos usar a regra do polinômio e da função trigonométrica:

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(cotg (x))^' = - cos s ec^2 (x)

Passo 3

Vamos calcular h ' ( x ) , usando a regra do polinômio:

h ' ( x ) = (x)^' = x^(1 - 1) = x^0 = 1

Com g ' ( x ) vamos usar a regra e da função trigonométrica:

g ' ( x ) = (cotg x)^' = - cos s ec^2 (x)

Passo 4

Agora é só substituir de volta na fórmula e pronto:

f^' (x) = h^' (x) g (x) + g^' (x) h (x) = (x)^' * cotg x + (cotg x)^' * x = 1 * cotg x + (- co s sec^2 (x)) * x = cotg x - x cos s ec^2 (x)

Resposta

f^' (x) = cotg x - x cossec^2 (x)

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