Calcule ∫ γ d x + x y d y + zd z , onde γ é a interseção de x 2 + y 2 + z 2 = 2 ,x ≥ 0 ,y ≥ 0 e z ≥ 0 , com o plano y = x ; o sentido do percurso é do ponto 0,0 , 2 para 1,1 , 0 .

Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 6.2 - Ex. 5

Calcule , onde é a interseção de e , com o plano ; o sentido do percurso é do ponto para .

Passo 1

Vamos recordar de nossas aulas de geometria analítica para tentar resolver nosso problema. Primeira coisa que vamos observar é que estamos lidando com de uma esfera que se encontra no primeiro octante do nosso espaço.

Passo 2

Neste passo vamos tentar desvendar nossa curva. Primeiro vamos relacionar a equação da nossa esfera com o nosso plano dado. Nosso objetivo é saber uma curva que contenha todos os pontos da interseção entre eles.

Assim temos

Vamos dar uma pequena reescrevida em nossa equação, para entendermos melhor que figura estamos vendo.

Tome que nossa equação pode ser escrita como

Assim temos uma elipse.

Vamos usar coordenadas polares para tentar descrever nosso problema da seguinte forma

Assim variando de de à , temos que variamos nossos pontos de à .

Com essa escolha de coordenadas, temos que

Passo 3

Assim podemos escrever nossa integral como

Vamos resolver cada integral separada ... Porque não temos outras escolhas né hahaha.

A primeira integral é tranquila né ... da seno. Já a segunda e a terceira vamos fazer uma substituição de assim temos

Resposta

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