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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 6.2 - Ex. 5

Calcule ∫ γ d x + x y d y + z   d z , onde γ é a interseção de x 2 + y 2 + z 2 = 2 ,   x ≥ 0 ,   y ≥ 0 e z ≥ 0 , com o plano y = x ; o sentido do percurso é do ponto 0,0 , 2 para 1,1 , 0 .

Passo 1

Vamos recordar de nossas aulas de geometria analítica para tentar resolver nosso problema. Primeira coisa que vamos observar é que estamos lidando com 1 / 8 de uma esfera que se encontra no primeiro octante do nosso espaço.

Passo 2

Neste passo vamos tentar desvendar nossa curva. Primeiro vamos relacionar a equação da nossa esfera com o nosso plano dado. Nosso objetivo é saber uma curva que contenha todos os pontos da interseção entre eles.

Assim temos

x 2 + y 2 + z 2 = 2 → 2 x 2 + z 2 = 2

Vamos dar uma pequena reescrevida em nossa equação, para entendermos melhor que figura estamos vendo.

Tome que nossa equação pode ser escrita como

x 2 + z 2 2 = 1

Assim temos uma elipse.

Vamos usar coordenadas polares para tentar descrever nosso problema da seguinte forma

x = y = sen ⁡ θ

z = 2   c o s   θ

Assim variando de θ de 0 à π / 2 , temos que variamos nossos pontos de ( 0,0 , 2 ) à 1,1 , 0 .

Com essa escolha de coordenadas, temos que

d x = d y = cos ⁡ θ   d θ

d z =   - 2   s e n   θ   d θ

Passo 3

Assim podemos escrever nossa integral como

∫ γ d x +   x y d y + z   d z = ∫ 0 π / 2 cos ⁡ θ   d θ + ( s e n 2 θ ) ( cos ⁡ θ   d θ ) + 2 cos ⁡ θ - 2   s e n   θ   d θ

Vamos resolver cada integral separada ... Porque não temos outras escolhas né hahaha.

A primeira integral é tranquila né ... da seno. Já a segunda e a terceira vamos fazer uma substituição de s e n   θ = u assim temos

= s e n   θ   + s e n 3 θ 3 - s e n 2 θ 0 π / 2 = 1 + 1 3 - 1 = 1 3

Resposta

1 3

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