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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 5.7 - Ex. 10

Calcule o momento de inércia de um sólido homogêneo com a forma de um cone circular reto de altura h e o raio da base R , em relação a um eixo passando pelo vértice e perpendicular ao eixo do cone.

Passo 1

Vamos olhar para o início da nossa seção 5.7 e nos atentar para a seguinte relação

I = ∭ B r 2 d m

Que é definido como nosso momento de inércia, na qual d m = δ x , y , z d x   d y   d z e δ x , y , z é nossa densidade volumétrica. Assim agora precisamos só aplicarmos nossa equação. Claro que estou aqui para ajuda-los ...

Passo 2

Vamos supor que nosso eixo seja o eixo y , pois satisfaz as nossas condições. Assim temos que

I y = ∭ B x 2 + z 2 δ x , y , z d x   d y   d z

Usando coordenadas cilíndricas para descrever nosso problema, temos

x =   r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

z = z

Assim, temos que para o cone, nossos limites de integração são

0 ≤ r ≤ R ,   0 ≤ θ ≤ 2 π , r h R ≤ z ≤ h

Assim nossa integral é definida como

I y = ∫ 0 R ∫ 0 2 π ∫ r h R h r 2 cos 2 ⁡ θ + z 2 k   r   d z   d θ   d r

Passo 3

Agora integrando em z , temos

I y = k ∫ 0 R ∫ 0 2 π z r 3 cos 2 ⁡ θ + r z 3 3 r h R h d θ   d r

= k ∫ 0 R ∫ 0 2 π h - r h R r 3 cos 2 ⁡ θ + r h 3 3 - r 4 h 3 3 R 3 d θ   d r

Vamos primeiro integrar em r

I y = k ∫ 0 2 π R 4 h 4 - R 5 h 5 R cos 2 ⁡ θ + R 2 h 3 6 - R 5 h 3 15 R 2 d θ

Que parece ser algo complicado, mas podemos resumir em

I y = k ∫ 0 2 π R 4 h 20 cos 2 ⁡ θ + R 2 h 3 10 d θ

A integral do cosseno podemos fazer da seguinte maneira

∫ 0 2 π cos 2 ⁡ θ   d θ = ∫ 0 2 π 1 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ = 1 2 2 π + s e n   2 θ 2 0 2 π = π

Assim temos que

I y = k R 4 h 20 π + R 2 h 3 10 2 π

Tomando que

k = M V = 3 M π h R 2

Ficamos com

I y = 3 5 R 2 4 + h 2

Resposta

I y = 3 5 R 2 4 + h 2

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