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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 6.2 - Ex. 4

Calcule ∫ γ x   d x + d y + 2   d z , onde γ é a interseção do paraboloide   z = x 2 + y 2 com o plano z = 2 x + 2 y - 1 ; o sentido do percurso deve ser escolhido de modo que a projeção de γ t , no plano x y , caminhe no sentido anti-horário.

Passo 1

Este problema nos suplicar invocar o espírito da Geometria Analítica. Zuera a parte, este é o típico exercício de calculo 3 que precisamos utilizar conhecimentos de outros momentos de nosso curso. Aqui precisamos descobrir que é nosso caminho γ .

Passo 2

Neste passo vamos tentar desvendar nossa curva. Primeiro vamos igualar a equação do nosso paraboloide com o nosso plano dado. Nosso objetivo é saber uma curva que contenha todos os pontos da interseção entre eles.

Assim temos

x 2 + y 2 = 2 x + 2 y - 1 → x 2 - 2 x + y 2 - 2 y = - 1

Podemos perceber a necessidade de completar quadrados para melhorar a cara da nossa função. Assim vamos somar e subtrair 1 para cada coordenada, ou seja

x 2 - 2 x + 1 - 1 + y 2 - 2 y + 1 - 1 = - 1

Desta forma podemos reescrever nossa função como

x - 1 2 - 1 + y - 1 2 - 1 = - 1

E

x - 1 2 + y - 1 2 = 1

E buscando continuar refrescando nossa memória, devemos nos atentar que curva é essa. Temos um círculo de raio 1 e centrado no ponto 1,1 .

Vamos então parametrizar nossa superfície, visto que queremos conhecer quem é nossa γ t

Assim tome

x - 1 = cos ⁡ t → x = 1 + cos ⁡ t

y - 1 = s e n   t → y = 1 + s e n   t

z = 2 1 + cos ⁡ t + 2 1 + s e n   t - 1

Com nosso t ∈ 0,2 π .

Assim temos

d x =   - s e n   t   d t

d y = cos ⁡ t   d t

d z = 2 - s e n   t + cos ⁡ t d t

Passo 3

Assim podemos escrever nossa integral como

∫ γ x   d x +   d y + 2   d z = ∫ 0 2 π ( 1 + cos ⁡ t )   ( - s e n   t   d t ) + ( cos ⁡ t d t ) + ( 2 ) 2 ( - s e n   t + cos ⁡ t d t )

Isolando d t e ajeitando os termos, ficamos com

= ∫ 0 2 π - cos ⁡ t   s e n   t - 5   s e n   t + 5 cos ⁡ t d t

Já a primeira integral fazemos s e n   t = u - . cos ⁡ t   d t = d u

Assim temos

∫ 0 0 u   d u = 0

Já a segunda e a terceira, temos que dão funções cosseno e seno respectivamente. Entretanto no intervalo de 0 a 2 π ambas são nulas. Assim temos

∫ γ x   d x +   d y + 2   d z = 0

Resposta

0

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