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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 6.5 - Ex. 6

Calcule o momento de inércia de um fio retínineo, homogêneo, de comprimento L , em torno de um eixo perpendicular ao fio e passando por uma das extremidades do fio.

Passo 1

Será que vocês lembram como calcular o momento de inércia?

Eu vou ajudar vocês. Tome que o momento de inércia é definido como

I = ∫ γ r 2 d m

Onde

d m = δ x , y , z   d s

E agora devemos fazer algumas transformações para conseguimos resolvemos nosso problema.

Em nosso capítulo, Integral de linha relativa ao comprimeiro de arco, função f X contínua, definida na imagem de γ , pode ser reescrita como

∫ γ f X d s = ∫ a b f γ t | γ ' t |   d t

E será assim que podemos resolver

Passo 2

Imagine que nosso fio está no espaço x y z . Por pitagora, a distância de qualquer ponto do fio em relação ao eixo z é dada por

r 2 = x 2 + y 2

Como queremos resolver de forma simples, imagine que o fio esteja passando sobre o eixo x , então podemos escrever que neste caso

γ t = t , 0 , z

Outra informação que o problema dos dá é que

δ x , y , z = k = M / L  

Com os valores que foram dados, temos que

r γ t 2 = t 2

E

δ γ t = k

Além disso não podemos esquecer que

γ ' t = 1 = 1

Passo 3

Agora que temos nossos fatores, podemos escrever nossa integral como

∫ 0 L k t 2 d t = k ∫ 0 L t 3 3 d t = M L 3 3 L = M L 2 3

Que era o que procuravamos

Resposta

M L 2 3

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