Calcule ∬ S r o t F →   .     n →   d s , onde F(x, y, z) = (2xy; 0; -xz) e S é a superfície do elipsóide:

x^2/4 + y^2/9 + z^2/16 = 1

Passo 1

Faaalaaa comigo BB... Vamos juntos riscar mais uma questãozinha da nossa lista. Let’s bora!!

Vamos esboçar nossa criatura:

Ta aí a nossa superfície.

Bom a gente não tem muito o que discutir aqui, vamos atrás de obter o rotacional desse campo:

r o t F → = ∇   x   F → = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F 1 F 2 F 3 = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z   ;   ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x     ;   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Só encontrar essas diferenciais, lembrando que:

F x , y , z = 2 x y ⏟ F 1   ; 0 ⏟ F 2   ;   - x z ⏟ F 3

Vamos lá:

∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z = 0 - 0 = 0

∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x = 0 - - z = z

E

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 0 - 2 x = - 2 x

Então o nosso rotacional vai ficar assim:

r o t F → = 0   ; z   ;   - 2 x  

Passo 2

Antes de tacar na nossa integral, ainda precisamos encontrar o vetor normal... e para fazer isso precisaremos parametrizar essa superfície.

Para isso podemos tomar as coordenadas esféricas, olha só:

x = 2 sin ⁡ φ cos ⁡ θ y = 3 sin ⁡ φ sin ⁡ θ   z = 4 cos ⁡ φ

Lembrou aí?

Então temos uma f somente em função dos nossos parâmetros θ e φ :

f θ ;   φ = 2 sin ⁡ φ cos ⁡ θ ; 3 sin ⁡ φ sin ⁡ θ   ; 4 cos ⁡ φ  

E lembra que o nosso vetor normal pode ser obtido assim:

∂ f ∂ φ = - 2 cos ⁡ θ cos ⁡ φ   ;   - 3 cos ⁡ φ sin ⁡ θ ;     4 sin ⁡ φ

E

∂ f ∂ θ = 2 sin ⁡ φ   sin ⁡ θ   ;   - 3 sin ⁡ φ cos ⁡ θ   ; 0  

E ai então:

N → = i → j → k → - 2 cos ⁡ θ cos ⁡ φ - 3 cos ⁡ φ sin ⁡ θ 4 sin ⁡ φ 2 sin ⁡ φ   sin ⁡ θ   - 3 sin ⁡ φ cos ⁡ θ 0

É chatinho, mas não tem outeo jeito...

N θ ; φ = 0   i → + 8 sin 2 ⁡ φ sin ⁡ θ   j → + 6 cos 2 ⁡ θ cos ⁡ φ sin ⁡ φ k → - - 12 sin 2 ⁡ φ sin ⁡ θ   i → + 0   j → +   - 6 sin 2 ⁡ θ cos ⁡ φ sin ⁡ φ

E então:

N θ ; φ = 12 sin 2 ⁡ φ sin ⁡ θ   i → + 8 sin 2 ⁡ φ sin ⁡ θ   j → + 6 cos ⁡ φ sin ⁡ φ k →

Esse infelizmente é o nosso vetor normal.

E perceba o seguinte, a projeção dessa superfície no plano x y forma uma elipse ( ah vá, elipsoide... elipse...) que pega os 4 quadrantes do plano; portanto:

0 ≤ θ ≤ 2 π

E note também que:

0 ≤ φ ≤ π

Pois a nossa superfície pega os dois lados do eixo z .

Passo 3

Agora, antes de tacar tudo na integral, temos que reescrever o rotacional em termos de θ   e   φ :

r o t F → = 0   ; 4 cos ⁡ φ   ;   - 4 sin ⁡ φ cos ⁡ θ

Antes tarde do que nunca né não?! É só tacar na integral:

∫ 0 2 π ∫ 0 π 0   ; 4 cos ⁡ φ   ;   - 4 sin ⁡ φ cos ⁡ θ   .   12 sin 2 ⁡ φ sin ⁡ θ ;   8 sin 2 ⁡ φ sin ⁡ θ   ;   6 cos ⁡ φ sin ⁡ φ   d φ d θ  

Haajaaa cooraaçããooo amigo... vamos devagar!

∫ 0 2 π ∫ 0 π 32 sin 2 ⁡ φ cos ⁡ φ sin ⁡ θ - 24 sin 2 ⁡ φ cos ⁡ φ cos ⁡ θ d φ d θ

Perceba que ao intergarmos φ , teremos a seguinte situação:

∫ sin 2 ⁡ φ cos ⁡ φ

Se chamarmos u = sin ⁡ φ , então teremos d u = - cos ⁡ φ d φ ; teremos:

- ∫ u 2 d u = - u 3 3

Ou seja:

∫ sin 2 ⁡ φ cos ⁡ φ = - sin 3 ⁡ φ 3

Voltaandooo pro nosso monstrinho:

∫ 0 2 π ∫ 0 π 32 sin 2 ⁡ φ cos ⁡ φ sin ⁡ θ - 24 sin 2 ⁡ φ cos ⁡ φ cos ⁡ θ d φ d θ

∫ 0 2 π 32 sin ⁡ θ - sin 3 ⁡ φ 3 - 24 cos ⁡ θ - sin 3 ⁡ φ 3 d θ φ = π φ = 0

Caarrmeeeeiaa ta feio, mas olha só:

sin ⁡ 0 = sin ⁡ π = 0

Ou seja meu pequeno gafanhoto:

∬ S r o t F →   .     n →   d s = 0

É só correr pro abraço!

Resposta

Concluímos:

∬ S r o t F →   .     n →   d s = 0

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