Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 7.10 - Ex. 11

Calcule onde e é a superfície do elipsóide:

Passo 1

Faaalaaa comigo BB... Vamos juntos riscar mais uma questãozinha da nossa lista. Let’s bora!!

Vamos esboçar nossa criatura:

Ta aí a nossa superfície.

Bom a gente não tem muito o que discutir aqui, vamos atrás de obter o rotacional desse campo:

Só encontrar essas diferenciais, lembrando que:

Vamos lá:

Então o nosso rotacional vai ficar assim:

Passo 2

Antes de tacar na nossa integral, ainda precisamos encontrar o vetor normal... e para fazer isso precisaremos parametrizar essa superfície.

Para isso podemos tomar as coordenadas esféricas, olha só:

Lembrou aí?

Então temos uma somente em função dos nossos parâmetros e :

E lembra que o nosso vetor normal pode ser obtido assim:

E ai então:

É chatinho, mas não tem outeo jeito...

E então:

Esse infelizmente é o nosso vetor normal.

E perceba o seguinte, a projeção dessa superfície no plano forma uma elipse ( ah vá, elipsoide... elipse...) que pega os 4 quadrantes do plano; portanto:

E note também que:

Pois a nossa superfície pega os dois lados do eixo .

Passo 3

Agora, antes de tacar tudo na integral, temos que reescrever o rotacional em termos de :

Antes tarde do que nunca né não?! É só tacar na integral:

Haajaaa cooraaçããooo amigo... vamos devagar!

Perceba que ao intergarmos , teremos a seguinte situação:

Se chamarmos , então teremos ; teremos:

Ou seja:

Voltaandooo pro nosso monstrinho:

Caarrmeeeeiaa ta feio, mas olha só:

Ou seja meu pequeno gafanhoto:

É só correr pro abraço!

Resposta

Concluímos:

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Use o Teorema de Stokes para calcular ∫ C F .d r . Em cada caso, C é orientado no sentido anti-horário visto de cima.10- F x , y , z = x i + y j + x 2 + y 2 k , C é a fronteira da parte do paraboloide

Use o Teorema de Stokes para calcular ∫ ∫ S r o tF .d S 2- F x , y , z = y zi + x zj + x yk S é a parte do paraboloide z = 9 - x 2 - y 2 que está acima do plano z = 5 , com orientação para cima.

Use o Teorema de Stokes para calcular ∫ ∫ S r o tF .d S 3- F x , y , z = x 2 e y z i + y 2 e x z j + z 2 e x y k , S é o hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 4 ,z ≥ 0 , com orientação para cima.

17- Calcule o trabalho realizado pelo campo de força F x , y , z = x x + z 2 i + y y + x 2 j + z z + y 2 k Quando uma partícula se move sob sua influência ao redor da borda da parte da esfera x 2 + y

16-Seja F x , y , z =a x 3 - 3 x z 2 , x 2 y + b y 3 , c z 3 Seja C a curva do Exercício 12 e considere todas as possíveis superfícies lisas S cuja curva fronteira é C . Ache os valores de a , b e c p