Seja C   a circunferência de raio a , no plano 2 x + 2 y + z = 4 , centrada no ponto 1 ; 2 ; - 2 . Se F x , y , z = y - x   ; z - x   ; x - y , determine o valor de a para que:

∮ C F   d r = - 8 3 π .

Passo 1

Faaalaa jovem.. Mais uma questãozinha de Stokes. Vamos juntos!

Antes de mais nada, já sabe né?! Temos que enxergar o que tacontesseno:

É dessa criatura aí que o enunciado ta falando. Ele diz que para um determinado raio a :

∮ C F   d r = - 8 3 π

E Stokes nos diz que:

∮ C F   d r = ∬ S r o t F →   .     n →   d s = - 8 3 π

Vamos tentar encontrar aquela integral dupla. Lembrando que ela é dada sob uma superfície, então não vamos mais trabalhar com a curva acima, e sim com essa superfície abaixo:

Percebe a diferença? Sim, pode dizer que a superfície é uma curva preenchida; eu deixo! Hahahaha

Passo 2

Com essa superfície em mente, podemos tentar calcular aquela integral lá. Vamos começar tentando achar o rotacional desse trem:

r o t F → = ∇   x   F → = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F 1 F 2 F 3 = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z   ;   ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x     ;   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

E o enunciado nos deu:

F x , y , z = y - x   ⏟ F 1 ; z - x ⏟ F 2   ; x - y ⏟ F 3

Só precisamos encontrar todas essas derivadas parciais aí:

∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z = - 1 - 1 = - 2

∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x = 0 - 1 = - 1

E

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = - 1 - 1 = - 2

Belezura, então o nosso rotacional é:

r o t F → = - 2   ;   - 1 ;   - 2

Agora só falta o vetor normal à essa superfície; repare que ser normal à superfície é na verdade ser normal ao plano 2 x + 2 y + z = 4 .

Onde quer chegar com isso?? Lembra que para achar o vetor normal à qualquer plano é só pegar os valores que aparecem na frente dos x , y e z ?

Sim, é muito tranquilo!

Nosso vetor vai ficar assim ó:

n → = 2   ; 2   ; 1

Mas por definição n → é um vetor unitário, então:

n → = 2   ; 2   ; 1 2   ; 2 ; 1

Lembra como se chama aquele cara ali em baixo?? É a norma do vetor, ou seja, o tamanho do vetor; então teremos:

2 ; 2 ; 1 = 2 - 0 2 + 2 - 0 2 + 1 - 0 2 = 9 = 3

No final das contas o que vamos jogar dentro da integral é:

n → = 2 3 ; 2 3   ; 1 3

Sacou a parada?

Passo 3

Então já podemos jogar tudo que encontramos dentro da integral:

∬ S - 2   ;   - 1 ;   - 2   .   2 3   ; 2 3   ; 1 3   d s  

Lembrando que temos um porduto escalar ali:

∬ s - 4 3 + - 2 3 + - 2 3   d s

E finalmente:

- 8 3 ∬ S d s = - 8 3 ∬ S d s

A integral daquele cara que sobrou alí pode ser justamente a area da nossa superfície; ou seja:

- 8 3   ∬ S d s = - 8 3   π a 2

Como no enunciado ele disse que:

∮ C F   d r = - 8 3 π

Então,

a 2 = 1 → a = 1

Teje respondido então. See you...

Resposta

Ecnontramos que a = 1 .

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