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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 6.3 - Ex. 7d

7. Determine uma função potencial para cada campo gradiente F dado

d.

F x , y , z = y + z ,   x + z ,   x + y

Passo 1

Oiii, esse exercício afirma para a gente que nosso campo vetorial é conservativo e que admite uma função potencial. Logo podemos fazer a seguinte relação

F = ∇ U

F = ∂ U ∂ x , ∂ U ∂ y

Então basicamente para achar os campos conservativos, teremos que integrar parcialmente as componentes de F. Um ponto importante é que ao finalizarmos nosso processo de integração indefinida teremos uma constante arbitraria C . E como estamos descobrindo uma função potencial, o zero da nossa função é completamente arbitrário. Logo é Irrelevante o valor de C. Então por conveniência dizemos que

C = 0

Se você sentir alguma dúvida de como isso funciona, no item 7a eu vou passo-a-passo. É só retornar lá e conferir. Beleza? Partiu cair dentro então!!! \o/

Passo 2

No nosso caso temos a seguinte função

F x , y , z = y + z ,   x + z ,   x + y

Vamos integrar em relação a x primeiro.

U x = y + z

U = y x + x z + g y , z  

Como toda integração indefinida gera uma constante arbitraria, temos que adicionar essa constante. E como ( y , z ) são nossas constantes nessa integral parcial, então essas “constantes” serão (se existir) uma função que depende apenas de ( y , z ) , pois

d d x   g ( y , z ) = 0

Beleza ! Vamos integrar agora em relação a y

U y = x + z

U = x y + y z + h z

Por fim, falta apenas integrar em z

U z = x + y  

U = x z + y z + C

Agora o que fazemos é comparar as três integrais parciais.

U = y x + x z + g y , z

U = x y + y z + h z

U = x z + y z + C

Logo se subtrairmos uma equação da outra, percebemos que

g y , z = y z + h ( z )

h   z = C

Como C é arbitrário. Logo nossa função potencial é

U = x y + x z + y z

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

U = x y + x z + y z

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