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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 10.2 - Ex. 6c

Determine a função y = y (x) , x > 0 , tal que

(d y)/(d x) = x + (1)/(sqrt(x)) e y (1) = 0

Passo 1

Separando os termos y e x para cada lado da equação:

(d y)/(d x) = x + (1)/(sqrt(x)) -> int d y = int (x + (1)/(sqrt(x))) d x

Separando em duas integrais distintas:

int d y = int (x + (1)/(sqrt(x))) d x

int d y = int x d x + int (d x)/(sqrt(x))

Passo 2

Calculando a integral:

y (x) = int x d x + int (d x)/(sqrt(x))

y (x) = int x d x + int x^(- 1 // 2) d x = (x^2)/(2) + (x^(1 // 2))/(1 // 2) + C = (x^2)/(2) + 2 sqrt(x) + C

Substituindo o ponto dado:

y (1) = 0 = (1^2)/(2) + 2 sqrt(1) + C

C = - (1)/(2) - 2 = - (5)/(2)

Assim,

y (x) = (x^2)/(2) + 2 sqrt(x) - (5)/(2)

Prontinho!!!

Resposta

y (x) = (x^2)/(2) + 2 sqrt(x) - (5)/(2)

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