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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 3.1 - Ex. 6m

Calcule int int_B f (x , y) d x d y sendo dados:

Passo 1

Chamando a integral dupla do teorema de Fubini de F :

F = int int_B f (x , y) d x d y

Podemos reescrevê-la como:

F = int int_B (x^2) d x d y

Ou:

F = int_a^b [int_(c (y))^(d (y)) (x^2) d x] d y = int_c^d [int_(a (x))^(b (x)) (x^2) d y] d x

Fazendo o esboço do conjunto B :

Podemos ver que uma das curvas permanece acima da outra. Dessa forma, é possível resolver as integrais de forma direta por integrais definidas com os limites de integração dados por:

0 <= x <= 1

E, para determinar os pontos em que ambas se cruzam, deve-se igualar as equações das curvas:

x = - x^2 + 2 x + 2 -> - x^2 + x + 2 = 0

-> (x + 1) (- x + 2) = 0

Então:

- 1 <= x <= 2

E:

x <= y <= - x^2 + 2 x + 2

Passo 2

Assim, é possível calcular:

F = int_(- 1)^2 [int_(y = x)^(y = - x^2 + 2 x + 2) (x^2) d y] d x

F = int_(- 1)^2 x^2 [y] | [[y,=,-,x^2,+,2,x,+,2],[y,=,x]] d x

Substituindo o intervalo de integração em y :

F = int_(- 1)^2 x^2 [- x^2 + 2 x + 2 - x] d x

F = int_(- 1)^2 [- x^4 + x^3 + 2 x^2] d x

Passo 3

Agora, integrando em relação a x :

F = [- (x^5)/(5) + (x^4)/(4) + (2 x^3)/(3)] | [[x,=,2],[x,=,-,1]]

E, substituindo o intervalo de integração:

F = [- (32)/(5) + 4 + (16)/(3) - (1)/(5) - (1)/(4) + (2)/(3)]

F = (- 396 + 240 + 320 - 15 + 40)/(60) = (189)/(60)

F = (63)/(20)

Resposta

(63)/(20)

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