Calcule ∫ ∫ B f x ,   y d x d y sendo dados:

Passo 1

Chamando a integral dupla do teorema de Fubini de F :

F = ∫ ∫ B f x ,   y d x d y

Podemos reescrevê-la como:

F = ∫ ∫ B x 2 d x d y

Ou:

F = ∫ a b ∫ c y d y x 2 d x d y = ∫ c d ∫ a x b x x 2 d y d x

Fazendo o esboço do conjunto B :

Podemos ver que uma das curvas permanece acima da outra. Dessa forma, é possível resolver as integrais de forma direta por integrais definidas com os limites de integração dados por:

0 ≤ x ≤ 1

E, para determinar os pontos em que ambas se cruzam, deve-se igualar as equações das curvas:

x = - x 2 + 2 x + 2 → - x 2 + x + 2 = 0

→ x + 1 - x + 2 = 0

Então:

- 1 ≤ x ≤ 2

E:

x ≤ y ≤ - x 2 + 2 x + 2

Passo 2

Assim, é possível calcular:

F = ∫ - 1 2 ∫ y = x y = - x 2 + 2 x + 2 x 2 d y d x

F = ∫ - 1 2 x 2 y | y = - x 2 + 2 x + 2 y = x d x

Substituindo o intervalo de integração em y :

F = ∫ - 1 2 x 2 - x 2 + 2 x + 2 - x d x

F = ∫ - 1 2 - x 4 + x 3 + 2 x 2 d x

Passo 3

Agora, integrando em relação a x :

F = - x 5 5 + x 4 4 + 2 x 3 3 | x = 2 x = - 1

E, substituindo o intervalo de integração:

F = - 32 5 + 4 + 16 3 - 1 5 - 1 4 + 2 3

F = - 396 + 240 + 320 - 15 + 40 60 = 189 60

F = 63 20

Resposta

63 20

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