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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 3.1 - Ex. 7d

Inverta a ordem de integração.

Passo 1

Para realizar a inversão, o primeiro passo é descobrir a região de integração e o conjunto B . Assim, visto que x varia de 1 a e , para cada valor de x fixo em [ 1 , e ] , y varia de ln x a x . Logo, conclui-se que essa região é o conjunto:

B = {(x , y) in R^2 | 1 <= x <= e , ln x <= y <= x}

Passo 2

Esboçando esse conjunto obtém-se:

Que, ao inverter, se torna conveniente separar a região em duas partes:

Passo 3

Portanto, como as equações das retas y = ln x e y = x podem ser reescritas como x = e^y e x = y , invertendo a ordem de integração temos:

int_1^e [int_(ln x)^x f (x , y) d y] d x = int_0^1 [int_1^(e^y) f (x , y) d x] d y + int_1^e [int_y^e f (x , y) d x] d y

Resposta

int_0^1 [int_1^(e^y) f (x , y) d x] d y + int_1^e [int_y^e f (x , y) d x] d y

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