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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 10.2 - Ex. 7c

Calcule ∬ σ u → ⋅ n →   d S sendo σ a fronteira de B com normal exterior n → sendo:

c )   B = x , y , z ∈ R 3 x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 } e u → = x i → + y j → + z 2 k → .

Passo 1

Vamos aplicar o teorema de Gauss:

∬ σ u → ⋅ n →   d S = ∭ B d i v   u →   d x d y d z

Vamos calcular o divergente então:

d i v   u → = 1 + 1 + 2 z

= 2 + 2 z

Agora vamos pensar na nossa região. Temos uma esfera em x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 , ou seja, toda a parte de dentro de uma esfera de raio 1. A gente vai parametrizar essa esfera usando coordenadas esféricas...

Passo 2

A parametrização é:

x = ρ s e n ϕ cos ⁡ θ y = ρ s e n ϕ s e n   θ z = ρ cos ⁡ ϕ

Sendo que o jacobiano aqui é ρ 2 s e n   ϕ .

Como é uma esfera completa, nossos intervalos são:

0 ≤ ρ ≤ 1

0 ≤ ϕ ≤ π

0 ≤ θ ≤ 2 π

Agora a gente monta nossa integral usando esse sisteminha:

∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 0 1 2 + 2 ρ cos ⁡ ϕ ρ 2 s e n   ϕ   d ρ d ϕ d θ

Passo 3

Vamos resolver agora:

∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 0 1 2 ρ 2 s e n   ϕ + 2 ρ 3 cos ⁡ ϕ s e n   ϕ   d ρ d ϕ d θ

= ∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 ρ 3 3 s e n   ϕ + 2 ρ 4 4 cos ⁡ ϕ s e n   ϕ 0 1 d ϕ d θ

= ∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 3 s e n   ϕ + 1 2 cos ⁡ ϕ s e n   ϕ   d ϕ d θ

Agora a gente integra em ϕ ...

= ∫ 0 2 π - 2 3 cos ⁡ ϕ + 1 4 s e n 2 ϕ 0 π d θ

= ∫ 0 2 π 2 3 + 2 3   d θ

= 4 3 2 π

= 8 π 3

E prontinho! Está calculado😉

Resposta

8 π 3

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