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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 10.2 - Ex. 10d

Uma partícula desloca-se sobre o eixo x com função de posição x = x t ,   t ≥ 0 . Determine x = x t , sabendo que

d )   d 2 x d t 2 = e - t ,   v 0 = 0   e   x 0 = 1

Passo 1

Sabemos que a velocidade pode ser interpretada como a derivada temporal da posição, se tomamos x = x t como função da posição, então:

v t = d x d t

Ou seja, a integral de d 2 x d t 2 descreve a velocidade:

∫ e - t d t

Usando a substituição u = - t → d u = - d t , teremos:

- ∫ e u d u = - e u + k

Voltando pra variável t :

- e u + k = - e - t + k

Passo 2

Ok! Agora temos a função da velocidade:

v t = - e - t + k

Precisamos achar o valor de k , assim:

v 0 = - e - 0 + k = - 1 + k

O exercício nos deu que v 0 = 0 , então igualamos:

0 = - 1 + k → k = 1

Assim:

v t = - e - t + k = - e - t + 1

Passo 3

Se v t = d x d t

Então:

∫ v t d t = ∫ d x = x t

x t = ∫ v t d t = ∫ - e - t + 1 d t

Vamos usar, novamente, a substituição u = - t → d u = - d t

∫ - e - t + 1 d t = - ∫ - e u + 1 d u = - - e u + u + c

Voltando pra variável t :

- - e u + u + c = - - e - t - t + c = e - t + t + c

Assim:

x t = e - t + t + c

x 0 = e 0 + 0 + c = 1 + c

E x 0 = 1

Assim, se igualarmos os valores de x 0 , teremos:

1 = 1 + c → c = 0

Logo:

x t = e - t + t

Resposta

x t = e - t + t

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