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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 7.10 - Ex. 12

Calcule:

int_C (2 x y z + sin x) d x + (x^2 z + e^y) d y + (x^2 y + (1)/(z)) d z

Onde C é a curva parametrizada por: sigma (t) = (cos^3 t ; sin^2 t ; (t + 1)^2) , 0 <= t <= pi .

Passo 1

Faalaa clóóviisss... vamos tentar matar mais uma questãozinha que envolve o teorema de Stokes.

Essa aqui ta meio diferentona né não? Cara não deu nada falando sobre as interseções e tudo mais como estamos acostumados.

Mas tranquilidade total, ele nos deu F (x , y , z) e a parametrização para a curva, com esses dois caras podemos encontrar o rotacional e o vetor normal; é só o que precisamos, lembra?

Fazemos a seguinte transformação:

int_C F d r = ∬_S r o t (vec F) . vec n d s

Passo 2

Vamos atrás desses carinhas então...

Lembra como a gente acha o rotacional? Assim ó:

r o t (vec F) = grad x vec F = |[[i,j,k],[(del)/(del x),(del)/(del y),(del)/(del z)],[F_1,F_2,F_3]]| = ((del F_3)/(del y) - (del F_2)/(del z) ; (del F_1)/(del z) - (del F_3)/(del x) ; (del F_2)/(del x) - (del F_1)/(del y))

Como o exercício deu:

F (x , y , z) = (underset(F_1)(ubrace 2 x y z + sin x) ; underset(F_2)(ubrace x^2 z + e^y) ; underset(F_3)(ubrace x^2 y + (1)/(z)))

Só precisamos ir atrás das derivadas parciais. Bora juntos então:

(del F_3)/(del y) - (del F_2)/(del z) = x^2 - x^2 = 0

(del F_1)/(del z) - (del F_3)/(del x) = 2 x y - 2 x y = 0

E

(del F_2)/(del x) - (del F_1)/(del y) = 2 x z - 2 x z = 0

Que belezura em...

r o t (vec F) = (0 ; 0 ; 0)

Ora então:

oint_C F d r = ∬_S r o t (vec F) . vec n d s = 0

Isso nos indica duas coisas sobre o campo vetorial:

  1. F (x , y , z) é um campo gradiente, ou seja, existe uma função f (x , y , z) tal que:

    2. Delta f (x , y , z) = F (x , y , z)

  2. O campo F é conservativo, ou seja:

int_A^B F d r = f (B) - f (A)

Então vamos tentar encontrar essa tal f ; expandindo o item (i):

(del f (x , y , z))/(del x) = F_1 = 2 x y z + sin x (I)

(del f (x , y , z))/(del y) = F_2 = x^2 z + e^y (I I)

(del f (x , y , z))/(del z) = F_3 = x^2 y + (1)/(z) (I I I)

Perceba então que se a gente integrar algum desses termos podemos ver mais ou menos a cara da nossa f ; vamos tentar então:

Passo 3

Integrando (I) :

int del f (x , y , z) = int (2 x y z + sin x) d x

Teremos:

f (x , y , z) = 2 y z (x^2)/(2) - cos x + P (y , z)

Lembrando que a gente assume a possibilidade de existir algo somente em função de y e z , memsa ideia da constante quando a integral é indefinida; lembra?

Então essa é a ideia que a gente tem da função f . Se essa for realmente o formato dela, quando derivarmos ela em y esperamos obter F_2 ; vamos ver se isso vale mesmo:

(del f (x , y , z))/(del y) = x^2 z - 0 + P^' (y , z) = F_2

Mas quem é o nosso F_2 mesmo?!

(del f (x , y , z))/(del y) = x^2 z - 0 + P^' (y , z) = x^2 z + e^y

Huuummm, então a única forma de isso ser verdade é se:

P^' (y , z) = e^y

Tá comigo? Se a gente integrar isso, descobrimos a função P ; vamos tentar:

int P^' (y , z) = int e^y d y

Teremos:

P (y , z) = e^y + T (z)

Novamente, temos que admitir a possibilidade de existir algo somente em termos de z ; olha que bacana, a nossa função já tem a seguinte forma:

f (x , y , z) = y z x^2 - cos x + e^y + T (z)

Show dibola! Mas podemos fazer ainda um último teste se derivarmos essa função em relação a z :

(del f (x , y , z))/(del z) = y x^2 - 0 + 0 + T^' (z)

E isso teria de ser igual a F_3 :

y x^2 - 0 + 0 + T^' (z) = x^2 y + (1)/(z)

Portanto, isso só vai acontecer quando:

T^' (z) = (1)/(z)

E integrando isso:

int T^' (z) = int (1)/(z) d z

Teremos:

T (z) = ln z

Ou seja, no final das contas, o verdadeiro formato na nossa f é:

f (x , y , z) = y z x^2 - cos x + e^y + ln z

Tá comigo?? O que precisamos fazer agora?? Antes de mais nada precisamos fazer a parameteização dessa função; ou seja, precisamos reescrever ela em termos de t :

Como temos:

sigma (t) = (cos^3 t ; sin^2 t ; (t + 1)^2)

Basta substituir esses x = cos^3 t , y = sin^2 t e z = (t + 1)^2 na nossa f :

f (t) = (t + 1)^2 sin^2 t cos^6 t - cos (cos^3 t) + e^(sin^2 t) + ln (t + 1)^2

Tá horrível aquilo alí né?! Mas carmeia que não vamos ter que fazer mágica não. Olha só:

Lembra que:

int_A^B F d r = f (B) - f (A)

E que o enunciado deu: 0 <= t <= pi ??

Então perceba que: A = 0 e B = pi . Com isso só precisamos substituir esses carinhas naquele mosntro ali em cima:

f (A) = f (0) = (1^2) (sin^2 0) (cos^6 0) - cos (cos^3 0) + e^(sin^2 0) + 2 ln (1)

Parece que piorou... Só que não, porque várias coisa ali vai dar zero; olha só:

f (A) = 0 - cos (1) + 1 + 0 = 1 - cos (1)

E agora o B :

f (B) = f (pi) = (pi + 1)^2 cos^6 ( pi ) sin^2 (pi) - cos (cos^3 pi) + e^(sin^2 pi) + 2 ln ( pi + 1 )

Mais uma vez varias coisinhas somem:

f (B) = - cos (1) + 1 + 2 ln (pi + 1)

Calma que tamo acabando... cuidado pra não errar nessas hora:

int_A^B F d r = [- cos (1) + 1 + 2 ln (pi + 1)] - [1 - cos (1)]

Finalmente, teremos:

int_A^B F d r = 2 ln (pi + 1)

E é isso!! Até a próxima!!

Resposta

Concluindo:

int_C (2 x y z + sin x) d x + (x^2 z + e^y) d y + (x^2 y + (1)/(z)) d z = 2 ln (pi + 1)

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