Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.3 - Ex. 1
Calcule o volume do sólido cuja base é o semicírculo , , e cujas seções perpendiculares ao eixo são triângulos equiláteros.
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular o volume do sólido que tem como base o semicírculo , para , e cujas seções perpendiculares ao eixo são triângulos equiláteros.
Em questão como essas devemos colocar a área do triângulo equilátero em função de , já que esses triângulos são as seções perpendiculares ao eixo .
Lembrando da área de um triângulo equilátero de lado , temos:
O lado do triângulo em relação ao da abscissa dessa circunferência é dado por:
Com isso, colocando as informações na expressão da área, vamos ter:
E como a integral da área é igual ao volume, o que nós vamos fazer é integrar essa expressão para obter o volume do sólido desejado.
Vamos lá!
Passo 2
Nosso intervalo de integração percorre a base do semicírculo de a . Assim, usando , temos a integral de volume:
Colocando a constante do lado de fora da integral e separando a subtração:
Agora integrando em relação a , temos:
Aplicando os limites de integração em :
E encontramos nosso volume:
Valeu, galera. Até a próxima! 😉