Calcule a soma indicada, usando os Teoremas 5.4.2 até 5.4.7

∑ i = 1 n 4 i ² ( i - 2 )

Passo 1

Já vamos expandir esse termo geral para facilitar nossas vidas:

4 i ² ( i - 2 ) = 4 i 3 - 8 i 2

E nossa soma fica:

∑ i = 1 n 4 i 3 - 8 i 2

E agora aplicamos a regra da soma para separar o termo geral em duas somas:

= ∑ i = 1 n 4 i 3 - ∑ i = 1 n 8 i 2

Passo 2

Para a primeira soma extraímos a constante:

∑ i = 1 n 4 i 3 = 4 ∑ i = 1 n i 3

Aplicamos a regra da soma ∑ k = 1 n k 3 = 1 4 n 2 ( n + 1 ) 2 :

= 1 4 n 2 ( n + 1 ) 2

E multiplicamos pela constante do início do passo:

= 4 ⋅ 1 4 n 2 n + 1 2

= n 2 ( n + 1 ) 2

Passo 3

Para a segunda soma também extraímos a constante:

∑ i = 1 n 8 i 2 = 8 ∑ i = 1 n i 2

Aplicamos a regra da soma ∑ k = 1 n k 2 = 1 6 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) :

= 1 6 n n + 1 2 n + 1

E multiplicamos pela constante do início do passo:

= 8 ⋅ 1 6 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )

= 4 3 n n + 1 2 n + 1

Passo 4

Finalmente, retomamos a soma principal:

∑ i = 1 n 4 i 2 i - 2 = ∑ i = 1 n 4 i 3 - ∑ i = 1 n 8 i 2

= n 2 n + 1 2 - 4 3 n n + 1 2 n + 1

= n 4 + 2 n 3 - 3 n 2 + - 8 n 3 - 4 n 3

= n 4 - 2 3 n 3 - 3 n 2 + - 4 n 3

Resposta

∑ i = 1 n 4 i 2 i - 2 = n 4 - 2 3 n 3 - 3 n 2 - 4 3 n

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