Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.2 - Ex. 8

Qual das seguintes alternativas expressa

Passo 1

Temos que identificar qual ou quais alternativas equivalem à expressão

Passo 2

Vamos então analisar as alternativas, começando pela (a)

Vamos fazer para k=1 (pois k começa por 1 nessa somatória, como é indicado na expressão)

O primeiro termo confere, agora vamos dar uma olhadinha no segundo:

O segundo termo também confere. Vamos checar mais um:

OPA! A gente pode identificar um padrão aí. Olha só, cada termo corresponde a uma potencia de 2, quer dizer, se todos os números fossem positivos, o primeiro termo é 2 elevado a potência 0, o segundo a potência 1, o terceiro é 2 elevado a potência 2, e assim segue, mas tem um detalhe, existe uma oscilação, quero dizer, cada termo tem o sinal oposto ao anterior, isso acontece porque o número na base é negativo, e o expoente varia, e quando o expoente for ímpar o resultado é negativo, tal como se o expoente for par o resultado é positivo.

Por esse raciocínio podemos ver que a somatória da alternativa (a) representa aquela expressão, porque note que essa somatória equivale a:

Que equivale a:

Podemos concluir que a alternativa (a) representa a expressão.

Passo 3

Agora é a vez da alternativa (b)

O primeiro termo, onde k=0 é , confere. O segundo é . OPA! Parece que o padrão anterior se repete.

Olhando com força de vontade para essa expressão vemos que nessa somatória cada termo também é uma potência de 2 maior que a anterior em modulo, e o padrão de oscilação se repete, pois novamente temos um número negativo na base e uma potência que oscila entre números pares e números ímpares.

Assim essa somatória representa:

Que equivale a:

Olha só, a alternativa (b) também representa.

Passo 4

Agora falta só a alternativa (c).

Olha só, já de cara a gente vê que os termos são oscilatórios, tem ali um número negativo na base e um expoente que varia entre números pares e ímpares. Mas só isso não é suficiente pra concluir se essa somatória equivale ou não a expressão.

Vejamos, o primeiro termo é . Olha só, o primeiro termo já elimina essa alternativa.

Mas é interessante notar como essa somatória também tem cada termo em módulo como uma potência de 2 maior que a anterior. A diferença aqui é o padrão de oscilação.