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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.2 - Ex. 3

Se f x = e x - 2 ,   0 ≤ x ≤ 2 ,   calcule a soma de Rieman com n = 4 correta até a 6 casa decimal, tomando como pontos amostrais os pontos médios. O que representa a soma de Rieman? Ilustre com um diagrama.

Passo 1

Olá, meu caro amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui iremos utilizar a soma de Rieman para resolver essa atividade.

Para começar, vamos rever a fórmula da soma de Rieman,

S =   ∑ i = 1 4 f x i * Δ x =    

Com Δ x = b - a n .  

No nosso caso, x i * = x i - = 1 2 x i - 1 + x i e Δ x = 2 - 0 4 = 1 2 .

x l - = p o n t o   a m o s t r a l   m é d i o

n   é   o   n ú m e r o   d e   s u b i n t e r v a l o s .

Δ x = c o m p r i m e n t o   d o   i - é s i m o   s u b i n t e r v a l o

a \ b = i n t e r v a l o   [ a , b ]

Passo 2

Vamos ao digrama? Importante analisar ele antes de começarmos a resolução propriamente dita.

A soma representa a soma das áreas dos três retângulos acima do eixo x , menos a área dos retângulos abaixo do eixo, x ,   ou seja, a área liquida do retângulo em relação ao eixo x .

Substituindo na fórmula, temos que:

S = ∑ i = 1 4 f x i - Δ x =   Δ x     f x 1 - +     f x 2 - +   f x 3 - +   f x 4 -

A extensão do intervalo onde observamos x   ([0,2]) é 2. Com n = 4   , dividimos 2 por 4, o que nos dá 4 retângulos com larguras de 0,5 e alturas determinadas pela função f x no ponto médio de cada retângulo. Os pontos iniciais dos retângulos são 0, 0,5, 1 e 1,5. Isso significa que a altura para o primeiro retângulo é determinada como f 0,25 , pois 0,25 é o ponto médio de 0 e 0,5.

Substituindo as informações,

  Δ x     f x 1 - +     f x 2 - +   f x 3 - +   f x 4 - =   1 2 f 1 4 - +     f 3 4 +   f 5 4 - +   f 7 4  

Aplicando a função,

1 2 f 1 4 ¯ +     f 3 4 +   f 5 4 ¯ +   f 7 4 =

1 2 e 1 4 - 2 +   e 3 4 - 2 +   e 5 4 - 2 +   e 7 4 - 2 =

Resolvendo as contas,

S ≈ 2 ,   322986  

Resposta

S ≈ 2 ,   322986  

A soma representa a soma das áreas dos três retângulos acima do eixo x , menos a área dos retângulos abaixo do eixo, x ,   ou seja, a área liquida do retângulo em relação ao eixo x .

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