Calcule ∂z/∂u e ∂z / ∂v usando a regra da cadeia:

z = x^2 \* y , x = u / v , y = u \* e^v

Passo 1

Bom galera, vamos ter que usar a regra da cadeia, pra isso vamos precisar lembrar de uma formulinha, essa aqui:

∂ z ∂ u = ∂ z ∂ x ⋅ ∂ x ∂ u + ∂ z ∂ y ⋅ ∂ y ∂ u

E também:

∂ z ∂ v = ∂ z ∂ x ⋅ ∂ x ∂ v + ∂ z ∂ y ⋅ ∂ y ∂ v

Parece até meio complicadinha, mas vamos aplicar na prática que eu prometo que as coisas vão ficar mais claras. 😊

Passo 2

Belezinha, vamos aplicar a nossa função dentro da formula (Lembrando que quando a gente deriva em função de uma variável consideramos a outra constante):

∂ z ∂ u = ∂ ( x 2 y ) ∂ x ⋅ ∂ u v ∂ u + ∂ ( x 2 y ) ∂ y ⋅ ∂ ( u ⋅ e v ) ∂ u

= 2 x y ⋅ 1 v + x 2 ⋅ ( e v )

E substituimos x e y com as equações que elas valem:

= 2 ⋅ u v ⋅ u ⋅ e v ⋅ 1 v + u v 2 ⋅ ( e v )

= 2 ⋅ u 2 v 2 ⋅ e v + u 2 v 2 ⋅ e v

= u 2 v 2 ⋅ e v 2 + 1

= 3 u 2 v 2 ⋅ e v

Passo 3

Por fim, fazemos o mesmo para calcular a outra derivada:

∂ z ∂ v = ∂ z ∂ x ⋅ ∂ x ∂ v + ∂ z ∂ y ⋅ ∂ y ∂ v

= ∂ ( x 2 y ) ∂ x ⋅ ∂ u v ∂ v + ∂ ( x 2 y ) ∂ y ⋅ ∂ ( u ⋅ e v ) ∂ v

= 2 x y ⋅ - u v 2 + x 2 ⋅ u ⋅ e v

Substituimos x e y :

= 2 ⋅ u v ⋅ u ⋅ e v ⋅ - u v 2 + u v 2 ⋅ u ⋅ e v

= - 2 ⋅ u 3 v 3 ⋅ e v + u 3 v 2 ⋅ e v

= u 3 v 2 ⋅ e v ⋅ 1 - 2 v

Resposta

∂ z ∂ u = 3 u 2 v 2 ⋅ e v

∂ z ∂ v = u 3 v 2 ⋅ e v ⋅ 1 - 2 v

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