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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.8 - Ex. 3a

Calcule (del z)/(del u) e (del z)/(del v) usando a regra da cadeia:

z = x^2 y , x = (u)/(v) , y = u * e^v

Passo 1

Bom galera, vamos ter que usar a regra da cadeia, pra isso vamos precisar lembrar de uma formulinha, essa aqui:

(del z)/(del u) = (del z)/(del x) * (del x)/(del u) + (del z)/(del y) * (del y)/(del u)

E também:

(del z)/(del v) = (del z)/(del x) * (del x)/(del v) + (del z)/(del y) * (del y)/(del v)

Parece até meio complicadinha, mas vamos aplicar na prática que eu prometo que as coisas vão ficar mais claras. 😊

Passo 2

Belezinha, vamos aplicar a nossa função dentro da formula (Lembrando que quando a gente deriva em função de uma variável consideramos a outra constante):

(del z)/(del u) = (del ( x^2 y ))/(del x) * (del ((u)/(v)))/(del u) + (del ( x^2 y ))/(del y) * (del ( u * e^v ))/(del u)

= (2 x y) * ((1)/(v)) + (x^2) * ( e^v )

E substituimos x e y com as equações que elas valem:

= (2 * (u)/(v) * u * e^v) * ((1)/(v)) + ((u)/(v))^2 * ( e^v )

= 2 * (u^2)/(v^2) * e^v + (u^2)/(v^2) * e^v

= (u^2)/(v^2) * e^v (2 + 1)

= 3 (u^2)/(v^2) * e^v

Passo 3

Por fim, fazemos o mesmo para calcular a outra derivada:

(del z)/(del v) = (del z)/(del x) * (del x)/(del v) + (del z)/(del y) * (del y)/(del v)

= (del ( x^2 y ))/(del x) * (del ((u)/(v)))/(del v) + (del ( x^2 y ))/(del y) * (del ( u * e^v ))/(del v)

= (2 x y) * (- (u)/(v^2)) + (x^2) * (u * e^v)

Substituimos x e y :

= (2 * (u)/(v) * u * e^v) * (- (u)/(v^2)) + ((u)/(v))^2 * (u * e^v)

= - 2 * (u^3)/(v^3) * e^v + (u^3)/(v^2) * e^v

= (u^3)/(v^2) * e^v * (1 - (2)/(v))

Resposta

(del z)/(del u) = 3 (u^2)/(v^2) * e^v

(del z)/(del v) = (u^3)/(v^2) * e^v * (1 - (2)/(v))

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Dada a funcao f (x , y) = (x)/(y) + e^(x y) , com x (t) = (1)/(t) e y (t) = sqrt(t) , encontrar (d h)/(d t) onde h (t) = f (x (t) , y (t)) .
Determinar (d z)/(d t) , usando a regra da cadeia z = e^x (c o s x + c o s y) , x = t^3 , y = t^2
Determinar (d z)/(d t) , usando a regra da cadeia z = x c o s y , x = s e n t , y = t
Seja z = x y , onde x = f ( u ) e y = g ( u ) . Supondo f e g diferenciáveis, f 1 = 2 , g 1 = - 2 , d x d u 1 = - 1 e d y d u 1 = 5 , calcule d z d u ( 1 ) .