Enunciado
Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.6 - Ex. 15a
15. Seja S a superfície de equação
- Determine o ponto no qual o plano tangente à S é perpendicular à reta L de equação
Passo 1
Esse exercício é parecido com os anteriores. Vimos nos últimos exercícios que a reta que é perpendicular ao plano, é uma reta paralela à normal. E que a reta normal ao plano tangente também é normal à superfície. E também que esse vetor tem um nome especial – vetor gradiente , que tem o seguinte formato, sendo nossa superfície uma função g, seu gradiente é
No nosso caso nossa superfície é
Ou melhor
É sempre bom deixar equação inteira do lado esquerdo e deixar igualada a zero. Com isso nosso vetor normal, ou melhor o Vetor Gradiente é
Passo 2
Então sabemos que
Pensando em podemos fazer uma manipulação
Logo o que nos interessa de fato é fazer um paralelo entre os dois vetores
Vamos acrescentar um fator no vetor de para que as componentes z dos dois vetores sejam iguais
Dessa forma podemos fazer um sistema
Vamos isolar o da segunda equação
Agora vamos substituir na primeira equação
Com isso podemos descobrir
Passo 3
Agora basta descobrirmos z, para isso podemos usar a equação da superfície que o enunciado nos da
Com isso nosso ponto é
Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/
Te vejo na próxima resolução
: )