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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.10 - Ex. 8

Dada a funcao f (x , y) = (x)/(y) + e^(x y) , com x (t) = (1)/(t) e y (t) = sqrt(t) , encontrar (d h)/(d t) onde h (t) = f (x (t) , y (t)) .

Passo 1

A regra da cadeia é usada para derivar uma função composta para funções de uma variável, se y = f (x) e x = h ( t ) tem se

(d y)/(d t) = (d f (x))/(d x) . (d x)/(d t)

Se ambas f e h forem deriváveis. Para funções de duas variáveis, tem se como 1º caso , o seguinte:

Suponha z = f ( x , y ) diferncialvel em x e y e de modo que x = g (t) e y = h (t) diferenciáveis em t. Então z é diferenciável em t de forma que

(d z)/(d t) = (del z)/(del x) . (d x)/(d t) + (del z)/(del y) . (d y)/(d t)

Passo 2

Para a função da nossa questão temos:

(d f (x , y))/(d t) = (del f (x , y))/(del x) . (d x ( t_0 ))/(d t) + (del f (x , y))/(del y) . (d y (t_0))/(d t)

(del f (x , y))/(del x) = (1)/(y) + y e^(x y)

(del f (x , y))/(del y) = - (x)/(y^2) + x e^(x y)

(d x ( t ))/(d t) = - (1)/(t^2)

(d y (t))/(d t) = (1)/(2) (1)/(sqrt(t))

Passo 3

Substituindo as equações encontradas na fórmula da regra da cadeia do 1º caso

(d f (x , y))/(d t) = ((1)/(y) + y e^(x y)) xx (- (1)/(t^2)) + ( - (x)/(y^2) + x e^(x y) ) xx (1)/(2) (1)/(sqrt(t)) =

Deixando tudo numa só variável (t)

= ((1)/(sqrt(t)) + sqrt(t) e^((1)/(t) sqrt(t))) xx (- (1)/(t^2)) + (- (1)/(t^2) + (1)/(t) e^((1)/(t) sqrt(t))) xx (1)/(2) (1)/(sqrt(t)) = - (3)/(2 t^((5)/(2))) - (e^((sqrt(t))/(t)))/(2 t^((3)/(2)))

Resposta

- (3)/(2 t^((5)/(2))) - (e^((sqrt(t))/(t)))/(2 t^((3)/(2)))

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