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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.3 - Ex. 1d

Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 em volta de x 0 dado.

f x = x 3 e x 0 = 1

Passo 1

Temos que a expressão geral do polinômio de Taylor é da forma:

P x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 x - x 0 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + f n x 0 n ! x - x 0 n

Para o polinômio de Taylor de ordem 5 vamos ter:

P x = f 1 + f ' 1 x - 1 + f ' ' 1 2 x - 1 2 + f ' ' ' 1 3 ! x - 1 3 + f 4 1 4 ! x - 1 4 + f 5 1 5 ! x - 1 5

Passo 2

Vamos ter que calcular até a derivada quinta de f x e aplicar o ponto x 0 = 0 , vamos lá:

f x = x 3 → f 1 = 1

f ' x = f ' x 3 = 1 3 x 2 3 → f ' 1 = 1 3

f ' ' x = f ' ' 1 3 x 2 3 = - 2 9 x 5 3 → f ' ' 1 = - 2 9

f ' ' ' x = f ' ' ' - 2 9 x 5 3 = 10 27 x 8 3 = sen ⁡ x → f ' ' ' 1 = 10 27

f 4 x = f 4 10 27 x 8 3 = - 80 81 x 11 3 → f 4 1 = - 80 81

f 5 x = f 5 - 80 81 x 11 3 = 880 243 x 14 3 → f 5 1 = 880 243

Passo 3

Agora é só substituir e pronto:

P x = f 1 + f ' 1 x - 1 + f ' ' 1 2 x - 1 2 + f ' ' ' 1 3 ! x - 1 3 + f 4 1 4 ! x - 1 4 + f 5 1 5 ! x - 1 5 =

= 2 + 1 3 x - 1 + - 2 9 2 x - 1 2 + 10 27 6 x - 1 3 + - 80 81 24 x - 1 4 + 880 243 120 x - 1 5 =

= 2 + 1 3 x - 1 + - 1 9 x - 1 2 + 5 81 x - 1 3 - 10 243 x - 1 4 + 22 729 x - 1 5

Resposta

P x = 2 + 1 3 x - 1 + - 1 9 x - 1 2 + 5 81 x - 1 3 - 10 243 x - 1 4 + 22 729 x - 1 5

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